Délky period převrácených hodnot prvočísel

Z Wikiverzity
Přejít na: navigace, hledání
Tato stránka není ještě hotová.

Délky period převrácených hodnot prvočísel patří mezi důležité vlastnosti prvočísel.

Délka periody převrácené hodnoty[editovat]

The number 0142857-1.png

Na základních školách se v této otázce můžeme někdy setkat s nezcela přesnou a nepřesně vymezující oblast "účinnosti" základní/"kardinální" poučkou: "Délka periody převrácené hodnoty prvočísla je rovna toto prvočíslo mínus jedna." Příklad: 1/7 = 0,142857... přičemž řetězec 142857 o délce 6 (=7-1) cifer se periodicky nekonečně opakuje. Čímž je řečeno pouze A, B a mnoho dalšího se již nevykládá. Mezi ona nevyřčená B a další by příslušelo dodat: Tak tomu je v některých určitých číselných soustavách. V jiných soustavách může být délka periody kratší.

Základní pojmy a zákonitosti[editovat]

  1. Maximální možná délka periody převrácené hodnoty prvočísla je toto prvočíslo - 1 (p - 1). Je to základní veličina, kterou pro účely tohoto projektu budu nazývat kořen a bude mít značku/zkratku k.
  2. Konkrétní délku periody převrácené hodnoty prvočísla (l.p.) budu označovat l.
  3. Prvočíselný rozklad kořene f - (w:faktor) tvoří zásadní soubor veličin, určujících, jaké mohou být l: l může být libovolný součin 1 * f1 * f2 * ... * fn, přičemž každý z faktorů (včetně shodných) může být zastoupen nejvýše jednou. V číselných soustavách o základu z = n * p je však délka l nulová, ve všech ostatních případech nenulová.
  4. Prvočíslo 2 je jediným prvočíslem s neprvočíselným rozkladem kořene k (rovno 1 - což není prvočíslo)
  5. Kořen všech prvočísel kromě dvojky je sudý (t. j. dělitelný dvěma, neboť kromě dvojky jsou všechna prvočísla lichá)
  6. V soustavě o základu z = p + 1 je l = 1
  7. V soustavě o základu z = p - 1 je l = 2
  8. Pokud je v soustavě z0 délka periody daného prvočísla = l 0, je tatáž délka l 0 i ve všech soustavách zn, pro které platí zn = z0 + n * p. A také naopak, i ve všech soustavách zn = z0 - n * p, větších, než 1.
  9. Pro mocninové základy zn platí, že l n = l 0 / n pokud je l 0 dělitelné (exponentem soustavy) n, případně tolikrát kratší, jako je největší společný dělitel D čísel l 0 a n (tudíž pro nesoudělná l a n zůstává v zn l nezměněno).
  10. Dvě předcházející pravidla lze navzájem kombinovat při zjišťování l v souvisejících číselných soustavách.
  11. Jestliže známe délky l 1 a l 2 pro totéž prvočíslo p v odpovídajících soustavách z1 a z2: jsou-li tyto délky nesoudělné, potom v číselné soustavě z3 = z1 * z2 je l 3 rovno l 1 * l 2.
  12. Jestliže délka l v číselné soustavě zn je dělitelná dvěma, ale není dělitelná čtyřmi, potom v soustavě za = p - zn je poloviční a naopak, pokud je délka l v číselné soustavě zn lichá, potom v soustavě za = p - zn je dvojnásobná.
  13. Jestliže délka l v číselné soustavě zn je dělitelná čtyřmi, potom v soustavě za = p - zn je délka l shodná.
  14. Jestliže délka l převrácené hodnoty čísla m ve vícero číselných soustavách není dělitelem kořene k, potom číslo m není prvočíslo. Neplatí však opak: jestliže délka l převrácené hodnoty čísla m v některé/některých číselných soustavách je dělitelem kořene k, není to ještě důkaz prvočíselnosti čísla m.
  15. Jestliže však délka l převrácené hodnoty čísla m ve vícero číselných soustavách = m - 1 (t.j. k), potom číslo m je prvočíslo.

Rozložení délek převrácené hodnoty[editovat]

Rozložení podle číselných soustav (k jednotlivým p)[editovat]

  • Praktické ukázky:
p = 7
z 2 3 4 5 6 7 8 (10 (10-7=3))
l 3 6 3 6 2 0 1 6 (viz 3)
p = 11
z 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
l 10 5 5 5 10 10 10 5 2 0 1
p = 31
z 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
l 5 30 5 3 6 15 5 15 15 30 30 30 15 10 5 30 15 15 15 30 30 10 30 3 6 10 15 10 2 0 1

Získávání výsledků (l )[editovat]

Polosudé kořeny[editovat]

Ze školy jsme bývali zvyklí dělit takto:

1:7=0,142857

10

30
20
60
40
50
1...

Totéž se dá zapsat do tabulky:

  • z - zbytek po dělení, zároveň také číselná soustava, pro kterou hledáme délku l
  • e - exponent
Dělení 7 v desítkové soustavě (z0)
Poř.č.
e
z z*z0 l
k/Dk/e
podíl, zaokr. dolů p - z
0 1 10 (6) 1 (4)
1 3 30 6 4 4
2 2 20 3 2 5
3 6 60 2 8 (1)
4 4 40 3 5 3
5 5 50 6 7 2
6 1 ( = 8) 10 1 1 (6)

Výsledek: 0,142857...

Dělení 7 ve dvojkové soustavě (z0)
Poř.č.
e
z z*z0[10] z*z0[z] l
k/Dk/e
podíl, zaokr. dolů p - z
0 1 2 10 (3) 0 (5)
1 2 4 100 3 0 5
2 4 8 1000 3 1 3
3 1 ( = 8) 2 10 1 0 (6)

Výsledek: 0,001...

Dělení 7 ve trojkové soustavě (z0)
Poř.č.
e
z z*z0[10] z*z0[z] l
k/Dk/e
podíl, zaokr. dolů p - z
0 1 3 10 (6) 0 (4)
1 3 9 100 6 1 4
2 2 6 20 3 0 5
3 6 18 200 2 2 (1)
4 4 12 110 3 1 3
5 5 15 120 6 2 2
6 1 ( = 8) 3 10 1 0 (6)

Výsledek: 0,010212...

Z uvedených tabulek a v předešlém odstavci uvedených zákonitostí vyplývá, že pro p = 7 jsou plně dostačující charakteristiky k = 2∙3 a χ = 2 (jelikož k není dělitelné 4, stačí l = k/2 = 3. Nejnižší z, ve které je l = 3 je 2).

* Z důvodu správného řazení je k délkám l zepředu přidána 0 u jednociferných

Dělení 31 v desítkové soustavě (z0)
Poř.č.
e
z z*z0 l
k/Dk/e
podíl, zaokr. dolů p - z
0 1 10 (15) 0 (21)
1 10 100 15 3 21
2 7 70 15 2 24
3 8 80 05 2 23
4 18 180 15 5 13
5 25 250 03 8 6
6 2 20 05 0 29
7 20 200 15 6 11
8 14 140 15 4 17
9 16 160 05 5 15
10 5 50 03 1 26
11 19 190 15 6 12
12 4 40 05 1 27
13 9 90 15 2 22
14 28 280 15 9 3
15 1 ( = 32) 10 01 0 (30)

Výsledek: 0,032258064516129...

Dělení 31 ve dvojkové soustavě (z0)
Poř.č.
e
z z*z0[10] z*z0[z] l
k/Dk/e
podíl, zaokr. dolů p - z
0 1 2 10 (5) 0 (29)
1 2 4 100 5 0 29
2 4 8 1000 5 0 27
3 8 16 10000 5 0 23
4 16 32 100000 5 1 15
5 1 ( = 32) 2 10 1 0 (30)

Výsledek: 0,00001...

Dělení 31 v pětkové soustavě (z0)
Poř.č.
e
z z*z0[10] z*z0[z] l
k/Dk/e
podíl, zaokr. dolů p - z
0 1 5 10 (3) 0 (26)
1 5 25 100 3 0 26
2 25 125 1000 3 4 6
3 1 ( = 32) 5 10 1 0 (30)

Výsledek: 0,004...

Z uvedených tabulek a v předešlém odstavci uvedených zákonitostí vyplývá, že pro p = 31 jsou plně dostačující charakteristiky k = 2∙3∙5 a χ = 7 (jelikož k není dělitelné 4, stačí l = k/2 = 15. Nejnižší z, ve které je l = 15 je 7). Naopak, zkoumání prvočísla 31 v pětkové soustavě nám mnoho neřekne, neboť všechy (pouze 2 výsledky, s použitím pravidel celkem 4) výsledky navzájem souvisejí a nic nevypovídají o délkách period l v ostatních 27 číselných soustavách menších než p.

Ssudé (supersudé; super-even) kořeny[editovat]

Neboli kořeny dělitelné čtyřmi.

Dělení 37 v desítkové soustavě (z0)
Poř.č.
e
z z*z0 l
k/Dk/e
podíl, zaokr. dolů p - z
0 1 10 (3) 0 (27)
1 10 100 3 2 27
2 26 260 3 7 11
3 1 ( = 38) 10 1 0 (36)

Výsledek: 0,027...

* Z důvodu správného řazení k délkám l zepředu přidána 0 u jednociferných

Dělení 37 ve dvojkové soustavě (z0)
Poř.č.
e
z z*z0[10] z*z0[z] l
k/Dk/e*
podíl, zaokr. dolů p - z
0 1 2 10 (36) 0 (35)
1 2 4 100 36 0 35
2 4 8 1000 18 0 33
3 8 16 10000 12 0 29
4 16 32 100000 09 0 21
5 32 64 1000000 36 1 5
6 27 54 110110 06 1 10
7 17 34 100010 36 0 20
8 34 68 1000100 09 1 3
9 31 62 111110 04 1 6
10 25 50 110010 18 1 12
11 13 26 11010 36 0 24
12 26 52 110100 03 1 11
13 15 30 11110 36 0 22
14 30 60 111100 18 1 7
15 23 46 101110 12 1 14
16 9 18 10010 09 0 28
17 18 36 100100 36 0 19
18 36 72 1001000 02 1 1 ( = 38)
19 35 70 1000110 36 1 2
20 33 66 1000010 09 1 4
21 29 58 111010 12 1 8
22 21 42 101010 18 1 16
23 5 10 1010 36 0 32
24 10 20 10100 03 0 27
25 20 40 101000 36 1 17
26 3 6 110 18 0 34
27 6 12 1100 04 0 31
28 12 24 11000 09 0 25
29 24 48 110000 36 1 13
30 11 22 10110 06 0 26
31 22 44 101100 36 1 15
32 7 14 1110 09 0 15
33 14 28 11100 12 0 30
34 28 56 111000 18 1 9
35 19 38 100110 36 1 9
36 1 ( = 38) 2 10 01 0 (36)

Výsledek: 0,000001101110101100111110010001010011...

Z uvedených tabulek a v předešlém odstavci uvedených zákonitostí vyplývá, že pro p = 37 jsou plně dostačující teprve charakteristiky k = 2∙2∙3∙3 a χ = 2 (jelikož k je dělitelné 4, nestačí l = k/2 = 18, neboť tím by vypadly všechny č. soustavy, kde l je dělitelné 4. Nejnižší z, ve které je l = 36 je 2). Naopak, zkoumání prvočísla 37 v desítkové soustavě nám mnoho neřekne, neboť všechy (pouze 2 výsledky, s použitím pravidel celkem 4) výsledky navzájem souvisejí a nic nevypovídají o délkách period l v ostatních 33 číselných soustavách menších než p.

Pokud pomocí tlačítka v tabulce seřadíte výsladky podle délek, zjistíte, že (pro p = 37) nejvíce je l = 36 - celkem 12. (Budete-li zkoumat všechna/kterékoliv p, vyhovující vzorci p = 36n + 1, zjistíte, že l = 36 má vždy přesně 12 č. soustav, ať je prvočíslo, vyhovující tomu vzorci jakkoliv velké/malé). Při bližším zkoumání zjistíte, že jde o celkem 6 párů soustav/zbytků po dělení, jejich vzájemný součet v páru je 37(p). Dále zjistíte, že v tabulce je 6 č. soustav/zbytků po dělení (z) s l = 18 a stejný (6) počet z s l = 9. A že ke každému z s l = 18 existuje právě jedna z s l = 9, tvořící pár, kdy součet těchto z = p. To opět platí pro všechna p = 18n + 1. Dále máme v tabulce 4krát l = 12, neboli 2 páry a jeden pár s l = 4. To opět platí pro všechna p = 12n + 1 (a pro l 4 platí pro všechna p = 4n + 1). Dále máme v tabulce délky l = 3 a l = 6. Tyto tvoří dva páry (l 3 a l 6), jejich součet za a zb je opět roven p (zde 37). K tomu přistupuje ještě další vlastnost, nevyskytující se u jiných délek l : po za s délkou l = 3 vždy následuje za+1 s l = 6. Všechny tyto uvedené kombinace vlastností a četností platí pro všechna p = 36n + 1.

Zkrácené tabulky[editovat]

Dělení 37 ve dvojkové soustavě (z0) zkráceně
Poř.č.
e
z0[10] z0[z] l
k/Dk/e*
p - z
1 2 10 36 35
26 3 11 18 34
3 8 1000 12 29
32 7 111 09 15
30 11 1011 06 26
27 6 110 04 31
24 10 1010 03 27
18 36 100100 02 1 ( = 38)
36 1 ( = 38) 100110 01 (36)

Po odstranění údajů, vyplývajících ze základních pravidel zkrátíme tabulku ještě více:

Dělení 37 ve dvojkové soustavě (z0) zkráceně
Poř.č.
e
z0[10] z0[z] l
k/Dk/e*
1 2 10 36
3 8 1000 12
32 7 111 09
27 6 110 04
24 10 1010 03

Po odstranění všeho, co lze po uplatnění všech pravidel snadno vypočítat, zbyde tvrzení: u p = 37 je χ = 2 (χ - charakteristika prvočísla).

Tabulky v excellu[editovat]

Pro rychlejší získávání výsledků si podobné, jako výše uvedené tabulky lze naprogramovat v excellu. Obtížnější je pouze naprogramování prvních řádků, ostatní je zjednodušeno možností pomocí myši nakopírovat libovolné množství (omezené "jen" velikostí programu) dalších řádků. Nedostatek řádků lze kompenzovat tím, že výpočet započneme od vhodně zvolené mocninové soustavy. Toto je opět omezeno tím, že excell může +/- spolehlivě počítat pouze s čísly menšími, než 1016, což omezuje možnost výběru vhodné č. soustavy na z < 108.

Projekty[editovat]

Projekty statistik[editovat]

Projekty jednotlivých statistik[editovat]

Související[editovat]

Sledujte[editovat]