Délky period převrácených hodnot prvočísel

Tato stránka není ještě hotová.

Tato stránka je součástí databáze a projektu:
Délky period převrácených hodnot prvočísel Matematika
{cs}
Příslušnost: Kusurija

Délky period převrácených hodnot prvočísel patří mezi důležité vlastnosti prvočísel.

Délka periody převrácené hodnoty

Na základních školách se v této otázce můžeme někdy setkat s nezcela přesnou a nepřesně vymezující oblast "účinnosti" základní/"kardinální" poučkou: "Délka periody převrácené hodnoty prvočísla je rovna toto prvočíslo mínus jedna." Příklad: 1/7 = 0,142857... přičemž řetězec 142857 o délce 6 (=7-1) cifer se periodicky nekonečně opakuje. Čímž je řečeno pouze A, B a mnoho dalšího se již nevykládá. Mezi ona nevyřčená B a další by příslušelo dodat: Tak tomu je v některých určitých číselných soustavách. V jiných soustavách může být délka periody kratší.

Základní pojmy a zákonitosti

Maximální možná délka periody převrácené hodnoty prvočísla je toto prvočíslo - 1 (p - 1). Je to základní veličina, kterou pro účely tohoto projektu budu nazývat kořen a bude mít značku/zkratku k.
Konkrétní délku periody převrácené hodnoty prvočísla (l.p.) budu označovat l.
Prvočíselný rozklad kořene f - (w:faktor) tvoří zásadní soubor veličin, určujících, jaké mohou být l: l může být libovolný součin 1 * f₁ * f₂ * ... * f_n, přičemž každý z faktorů (včetně shodných) může být zastoupen nejvýše jednou. V číselných soustavách o základu z = n * p je však délka l nulová, ve všech ostatních případech nenulová.
Prvočíslo 2 je jediným prvočíslem s neprvočíselným rozkladem kořene k (rovno 1 - což není prvočíslo)
Kořen všech prvočísel kromě dvojky je sudý (t. j. dělitelný dvěma, neboť kromě dvojky jsou všechna prvočísla lichá)
V soustavě o základu z = p + 1 je l = 1
V soustavě o základu z = p - 1 je l = 2
Pokud je v soustavě z₀ délka periody daného prvočísla = l ₀, je tatáž délka l ₀ i ve všech soustavách z_n, pro které platí z_n = z₀ + n * p. A také naopak, i ve všech soustavách z_n = z₀ - n * p, větších, než 1.
Pro mocninové základy zⁿ platí, že l _n = l ₀ / n pokud je l ₀ dělitelné (exponentem soustavy) n, případně tolikrát kratší, jako je největší společný dělitel D čísel l ₀ a n (tudíž pro nesoudělná l a n zůstává v zⁿ l nezměněno).
Dvě předcházející pravidla lze navzájem kombinovat při zjišťování l v souvisejících číselných soustavách.
Jestliže známe délky l ₁ a l ₂ pro totéž prvočíslo p v odpovídajících soustavách z₁ a z₂: jsou-li tyto délky nesoudělné, potom v číselné soustavě z₃ = z₁ * z₂ je l ₃ rovno l ₁ * l ₂.
Jestliže délka l v číselné soustavě z_n je dělitelná dvěma, ale není dělitelná čtyřmi, potom v soustavě z_a = p - z_n je poloviční a naopak, pokud je délka l v číselné soustavě z_n lichá, potom v soustavě z_a = p - z_n je dvojnásobná.
Jestliže délka l v číselné soustavě z_n je dělitelná čtyřmi, potom v soustavě z_a = p - z_n je délka l shodná.
Jestliže délka l převrácené hodnoty čísla m ve vícero číselných soustavách není dělitelem kořene k, potom číslo m není prvočíslo. Neplatí však opak: jestliže délka l převrácené hodnoty čísla m v některé/některých číselných soustavách je dělitelem kořene k, není to ještě důkaz prvočíselnosti čísla m.
Jestliže však délka l převrácené hodnoty čísla m ve vícero číselných soustavách = m - 1 (t.j. k), potom číslo m je prvočíslo.

Rozložení délek převrácené hodnoty

Rozložení podle číselných soustav (k jednotlivým p)

Praktické ukázky:

p = 7
z	2	3	4	5	6	7	8	(10 (10-7=3))
l	3	6	3	6	2	0	1	6 (viz 3)

p = 11
z	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
l	10	5	5	5	10	10	10	5	2	0	1

p = 31
z	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
l	5	30	5	3	6	15	5	15	15	30	30	30	15	10	5	30	15	15	15	30	30	10	30	3	6	10	15	10	2	0	1

Získávání výsledků (l )

Polosudé kořeny

Ze školy jsme bývali zvyklí dělit takto:

1:7=0,142857

10

30

20

60

40

50

1...

Totéž se dá zapsat do tabulky:

z - zbytek po dělení, zároveň také číselná soustava, pro kterou hledáme délku l
e - exponent

Dělení 7 v desítkové soustavě (z₀)
Poř.č. e	z	z*z₀	l k/D_k/e	podíl, zaokr. dolů	p - z
0	1	10	(6)	1	(4)
1	3	30	6	4	4
2	2	20	3	2	5
3	6	60	2	8	(1)
4	4	40	3	5	3
5	5	50	6	7	2
6	1 ( = 8)	10	1	1	(6)

Výsledek: 0,142857...

Dělení 7 ve dvojkové soustavě (z₀)
Poř.č. e	z	z*z₀_[10]	z*z₀_[z]	l k/D_k/e	podíl, zaokr. dolů	p - z
0	1	2	10	(3)	0	(5)
1	2	4	100	3	0	5
2	4	8	1000	3	1	3
3	1 ( = 8)	2	10	1	0	(6)

Výsledek: 0,001...

Dělení 7 ve trojkové soustavě (z₀)
Poř.č. e	z	z*z₀_[10]	z*z₀_[z]	l k/D_k/e	podíl, zaokr. dolů	p - z
0	1	3	10	(6)	0	(4)
1	3	9	100	6	1	4
2	2	6	20	3	0	5
3	6	18	200	2	2	(1)
4	4	12	110	3	1	3
5	5	15	120	6	2	2
6	1 ( = 8)	3	10	1	0	(6)

Výsledek: 0,010212...

Z uvedených tabulek a v předešlém odstavci uvedených zákonitostí vyplývá, že pro p = 7 jsou plně dostačující charakteristiky k = 2∙3 a χ = 2 (jelikož k není dělitelné 4, stačí l = k/2 = 3. Nejnižší z, ve které je l = 3 je 2).

* Z důvodu správného řazení je k délkám l zepředu přidána 0 u jednociferných

Dělení 31 v desítkové soustavě (z₀)
Poř.č. e	z	z*z₀	l k/D_k/e	podíl, zaokr. dolů	p - z
0	1	10	(15)	0	(21)
1	10	100	15	3	21
2	7	70	15	2	24
3	8	80	05	2	23
4	18	180	15	5	13
5	25	250	03	8	6
6	2	20	05	0	29
7	20	200	15	6	11
8	14	140	15	4	17
9	16	160	05	5	15
10	5	50	03	1	26
11	19	190	15	6	12
12	4	40	05	1	27
13	9	90	15	2	22
14	28	280	15	9	3
15	1 ( = 32)	10	01	0	(30)

Výsledek: 0,032258064516129...

Dělení 31 ve dvojkové soustavě (z₀)
Poř.č. e	z	z*z₀_[10]	z*z₀_[z]	l k/D_k/e	podíl, zaokr. dolů	p - z
0	1	2	10	(5)	0	(29)
1	2	4	100	5	0	29
2	4	8	1000	5	0	27
3	8	16	10000	5	0	23
4	16	32	100000	5	1	15
5	1 ( = 32)	2	10	1	0	(30)

Výsledek: 0,00001...

Dělení 31 v pětkové soustavě (z₀)
Poř.č. e	z	z*z₀_[10]	z*z₀_[z]	l k/D_k/e	podíl, zaokr. dolů	p - z
0	1	5	10	(3)	0	(26)
1	5	25	100	3	0	26
2	25	125	1000	3	4	6
3	1 ( = 32)	5	10	1	0	(30)

Výsledek: 0,004...

Z uvedených tabulek a v předešlém odstavci uvedených zákonitostí vyplývá, že pro p = 31 jsou plně dostačující charakteristiky k = 2∙3∙5 a χ = 7 (jelikož k není dělitelné 4, stačí l = k/2 = 15. Nejnižší z, ve které je l = 15 je 7). Naopak, zkoumání prvočísla 31 v pětkové soustavě nám mnoho neřekne, neboť všechy (pouze 2 výsledky, s použitím pravidel celkem 4) výsledky navzájem souvisejí a nic nevypovídají o délkách period l v ostatních 27 číselných soustavách menších než p.

Ssudé (supersudé; super-even) kořeny

Neboli kořeny dělitelné čtyřmi.

Dělení 37 v desítkové soustavě (z₀)
Poř.č. e	z	z*z₀	l k/D_k/e	podíl, zaokr. dolů	p - z
0	1	10	(3)	0	(27)
1	10	100	3	2	27
2	26	260	3	7	11
3	1 ( = 38)	10	1	0	(36)

Výsledek: 0,027...

* Z důvodu správného řazení k délkám l zepředu přidána 0 u jednociferných

Dělení 37 ve dvojkové soustavě (z₀)
Poř.č. e	z	z*z₀_[10]	z*z₀_[z]	l k/D_k/e*	podíl, zaokr. dolů	p - z
0	1	2	10	(36)	0	(35)
1	2	4	100	36	0	35
2	4	8	1000	18	0	33
3	8	16	10000	12	0	29
4	16	32	100000	09	0	21
5	32	64	1000000	36	1	5
6	27	54	110110	06	1	10
7	17	34	100010	36	0	20
8	34	68	1000100	09	1	3
9	31	62	111110	04	1	6
10	25	50	110010	18	1	12
11	13	26	11010	36	0	24
12	26	52	110100	03	1	11
13	15	30	11110	36	0	22
14	30	60	111100	18	1	7
15	23	46	101110	12	1	14
16	9	18	10010	09	0	28
17	18	36	100100	36	0	19
18	36	72	1001000	02	1	1 ( = 38)
19	35	70	1000110	36	1	2
20	33	66	1000010	09	1	4
21	29	58	111010	12	1	8
22	21	42	101010	18	1	16
23	5	10	1010	36	0	32
24	10	20	10100	03	0	27
25	20	40	101000	36	1	17
26	3	6	110	18	0	34
27	6	12	1100	04	0	31
28	12	24	11000	09	0	25
29	24	48	110000	36	1	13
30	11	22	10110	06	0	26
31	22	44	101100	36	1	15
32	7	14	1110	09	0	15
33	14	28	11100	12	0	30
34	28	56	111000	18	1	9
35	19	38	100110	36	1	9
36	1 ( = 38)	2	10	01	0	(36)

Výsledek: 0,000001101110101100111110010001010011...

Z uvedených tabulek a v předešlém odstavci uvedených zákonitostí vyplývá, že pro p = 37 jsou plně dostačující teprve charakteristiky k = 2∙2∙3∙3 a χ = 2 (jelikož k je dělitelné 4, nestačí l = k/2 = 18, neboť tím by vypadly všechny č. soustavy, kde l je dělitelné 4. Nejnižší z, ve které je l = 36 je 2). Naopak, zkoumání prvočísla 37 v desítkové soustavě nám mnoho neřekne, neboť všechy (pouze 2 výsledky, s použitím pravidel celkem 4) výsledky navzájem souvisejí a nic nevypovídají o délkách period l v ostatních 33 číselných soustavách menších než p.

Pokud pomocí tlačítka v tabulce seřadíte výsladky podle délek, zjistíte, že (pro p = 37) nejvíce je l = 36 - celkem 12. (Budete-li zkoumat všechna/kterékoliv p, vyhovující vzorci p = 36n + 1, zjistíte, že l = 36 má vždy přesně 12 č. soustav, ať je prvočíslo, vyhovující tomu vzorci jakkoliv velké/malé). Při bližším zkoumání zjistíte, že jde o celkem 6 párů soustav/zbytků po dělení, jejich vzájemný součet v páru je 37(p). Dále zjistíte, že v tabulce je 6 č. soustav/zbytků po dělení (z) s l = 18 a stejný (6) počet z s l = 9. A že ke každému z s l = 18 existuje právě jedna z s l = 9, tvořící pár, kdy součet těchto z = p. To opět platí pro všechna p = 18n + 1. Dále máme v tabulce 4krát l = 12, neboli 2 páry a jeden pár s l = 4. To opět platí pro všechna p = 12n + 1 (a pro l 4 platí pro všechna p = 4n + 1). Dále máme v tabulce délky l = 3 a l = 6. Tyto tvoří dva páry (l 3 a l 6), jejich součet z_a a z_b je opět roven p (zde 37). K tomu přistupuje ještě další vlastnost, nevyskytující se u jiných délek l : po z_a s délkou l = 3 vždy následuje z_a+1 s l = 6. Všechny tyto uvedené kombinace vlastností a četností platí pro všechna p = 36n + 1.

Zkrácené tabulky

Dělení 37 ve dvojkové soustavě (z₀) zkráceně
Poř.č. e	z₀_[10]	z₀_[z]	l k/D_k/e*	p - z
1	2	10	36	35
26	3	11	18	34
3	8	1000	12	29
32	7	111	09	15
30	11	1011	06	26
27	6	110	04	31
24	10	1010	03	27
18	36	100100	02	1 ( = 38)
36	1 ( = 38)	100110	01	(36)

Po odstranění údajů, vyplývajících ze základních pravidel zkrátíme tabulku ještě více:

Dělení 37 ve dvojkové soustavě (z₀) zkráceně
Poř.č. e	z₀_[10]	z₀_[z]	l k/D_k/e*
1	2	10	36
3	8	1000	12
32	7	111	09
27	6	110	04
24	10	1010	03

Po odstranění všeho, co lze po uplatnění všech pravidel snadno vypočítat, zbyde tvrzení: u p = 37 je χ = 2 (χ - charakteristika prvočísla).

Tabulky v excellu

Pro rychlejší získávání výsledků si podobné, jako výše uvedené tabulky lze naprogramovat v excellu. Obtížnější je pouze naprogramování prvních řádků, ostatní je zjednodušeno možností pomocí myši nakopírovat libovolné množství (omezené "jen" velikostí programu) dalších řádků. Nedostatek řádků lze kompenzovat tím, že výpočet započneme od vhodně zvolené mocninové soustavy. Toto je opět omezeno tím, že excell může +/- spolehlivě počítat pouze s čísly menšími, než 10¹⁶, což omezuje možnost výběru vhodné č. soustavy na z < 10⁸.

Projekty

Projekty statistik

/Statistika

Projekty jednotlivých statistik

/Statistika/Statistika desítkové soustavy

Související

Sledujte

pojednání o délkách period p. h. prvočísel