Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 3: 111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
   1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
   2. V soustavách o základu 3n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 3 (viz Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3).
   3. Kromě trojky, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 3) vyhovují vzorci 6n + 1 (p).
   4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
   5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci p - z_a - 1.
3. Faktory nebo repunitová prvočísla o délce R = 3_{z a} jsou zároveň kofaktory repunitu o délce R = 6 v následující (z_a + 1) soustavě, kde mají tvar g1 (g = z - 1). Toto pravidlo paltí pouze pro repunity R = 3 : R = 6 (t.j. neplatí pro repunity R = p : R = 2p pro p>3).
4. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 3)

legenda:

• p - prvočíslo
• R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
• z - základ číselné soustavy
• f - w:faktor
• k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/6)
• l.p. délka periody 1/p
• l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
• ∙ - znak násobení
• ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p 111_(z) (R = 3)

p	7	13	31	43	73	157	211	241	307	421	463	601	757	1123	1483	1723	2551	2971	3307	3541	3907	4423	4831	5113	5701	6007
z	2	3	5	6	8	12	14	15	17	20	21	24	27	33	38	41	50	54	57	59	62	66	69	71	75	77
f k/6	1	2	5	7	2^2∙3	2∙13	5∙7	2^3∙5	3∙17	2∙5∙7	7∙11	2^2∙5^2	2∙3^2∙7	11∙17	13∙19	7∙41	5^2∙17	3^2∙5∙11	19∙29	2∙5∙59	3∙7∙31	11∙67	5∙7∙23	2^2∙3∙71	2∙5^2∙19	7∙11∙13
l.p.(10)	6	6	15	21	8	78	30	30	153	140	154	300	27	561	247	287	425	2970	1653	20	1953	4422	805	1704	5700	858
χ	2*	2	7*	9*	5	5	4*	7	7*	2	2*	7	2	4*	4*	6*	2*	5*	4*	7	4*	7*	2*	19	6	9

Pokračování tabulky nejmenších repunitových p 111_(z) (R = 3)

p	6163	6481	8011	8191	9901	10303	11131	12211	12433	13807	14281	17293	19183	20023	20593	21757	22651	23563	24181
z	78	80	89	90*	99	101	105	110	111	117	119	131	138	141	143	147	150	153	155
f k/6	13∙79	2^3∙3^3∙5	3∙5∙89	3∙5∙7∙13	2∙3∙5^2∙11	17∙101	5∙7∙53	5∙11∙37	2^3∙7∙37	3∙13∙59	2^2∙5∙7∙17	2∙11∙131	23∙139	47∙71	2^3∙3∙11∙13	2∙7^2∙37	5^2∙151	3∙7∙11∙17	2∙5∙13∙31
l.p.(10)	79	270	2670	1365	12	3434	11130	4070	4144	13806	1190	1441	6394	6674	1872	10878	1510	11781	4836

Pokračování tabulky nejmenších repunitových p 111_(z) (R = 3)

p	26083	26407	27061	28057	28393	30103	31153	35533	35911	37057	37831	41413	42643	43891	46441	47743
z	161	162	164	167	168	173	176	188	189	192	194	203	206	209	215	218
f k/6	3^3∙7∙23	3^3∙163	2∙5∙11∙41	2^2∙7∙167	2^2∙7∙13^2	29∙173	2^3∙11∙59	2∙3^2∙7∙47	3^2∙5∙7∙19	2^5∙193	5∙13∙97	2∙7∙17∙29	3∙23∙103	5∙7∙11∙19	2^2∙3^2∙5∙43	73∙109
l.p.(10)	1449	26406	27060	28056	1352	30102	31152	2961	5985	37056	18915	609	42642	14630	1161	15914

Pokračování tabulky nejmenších repunitových p 111_(z) (R = 3)

p	53593	55933	60271	60763	71023	74257	77563	78121	82657	83233	84391	86143	95791	98911	108571	110557
z	231	236	245	246	266	272	278	279	287	288	290	293	309	314	329	331
f k/6	2^2∙7∙11∙29	2∙59∙79	5∙7^2∙41	13∙19∙41	7∙19∙89	2^3∙7∙13∙17	3∙31∙139	2^2∙3∙5∙7∙31	2^4∙3∙7∙41	2^4∙3∙17^2	5∙29∙97	7^2∙293	5∙31∙103	3∙5∙7∙157	5∙7∙11∙47	2∙3∙37∙83
l.p.(10)	17864	27966	6027	30381	10146	74256	12927	4340	82656	27744	28130	1758	15965	49455	36190	27639

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p.

Sledujte

• Předchozí - není
• následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 5
• také: Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3, Číselné soustavy/Seznam repunitových prvočísel, Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 21, Délky period převrácených hodnot prvočísel/Délka l = 3 nebo 6