Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 5

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 5: 11111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 5n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 5.
3. Kromě pětky, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 5) vyhovují vzorci 10n + 1 (p); (čili všechna musí být v desítkové soustavě zakončena jedničkou).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3 a n = 4; tedy pro každé takové p existují celkem přesně čtyři (protože 5 - 1 = 4) číselné soustavy o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 5.
6. Ve čtyřech soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 10 (1111111111).
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 5)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/10 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/10)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p 11111_(z) (R = 5)
p	31	2801	22621	30941	88741	245411	292561	346201	637421	837931	2625641	3500201	3835261	6377551	15018571	16007041
z	2*	7	12	13	17	22	23	24	28	30	40	43	44	50	62	63
f k/10	3	2^3∙5∙7	2∙3∙13∙29	2∙7∙13∙17	2∙3^2∙17∙29	11∙23∙97	2^3∙3∙23∙53	2^2∙3∙5∙577	2∙7∙29∙157	3∙17∙31∙53	2^2∙41∙1601	2^2∙5∙11∙37∙43	2∙3^2∙11∙13∙149	3∙5∙17∙41∙61	3^2∙7∙31∙769	2^6∙3^2∙7∙397
l.p.(10)	15	1400	7540	30940	493	49082	146280	57700	637420	837930	328205	875050	767052	212585	2145510	1143360

Tabulka nejmenších repunitových p 11111_(z) (R = 5)
p	21700501	28792661	30397351	35615581	39449441	48037081	52822061	78914411	97039801	147753211
z	68	73	74	77	79	83	85	94	99	110
f k/10	2∙3∙5^2∙17∙23∙37	2∙13∙37∙41∙73	3∙5∙37∙5477	2∙3∙7∙11∙13∙593	2^4∙79∙3121	2^2∙3∙7∙13∙53∙83	2∙17∙43∙3613	19∙47∙8837	2^2∙3^2∙5∙11∙13^2∙29	3∙11∙37∙12101
l.p.(10)	7233500	28792660	15198675	1079260	19724720	6004635	52822060	15782882	?	?

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p.

Sledujte