Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 3: 111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunitová prvočísla o délce 3 (111) jsou popsána v článku Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3. Avšak v soustavách z = 3n + 1 jsou repunity 111 vždy součinem 3 * ce, kde c je (z - 1)/3 a e = 2c + 1. Ne v každé soustavě je ce_(z) prvočíslo, tak jak je tomu například v desítkové soustavě (37₍₁₀₎: (10₍₁₀₎ - 1)/3 = 3; 2*3 + 1 = 7; ve čtyřkové soustavě: (10₍₄₎ - 1)/3 = 1; 2*1 + 1 = 3; 13₍₄₎ = 7₍₁₀₎; ale: (10₍₁₆₎ - 1)/3 = 5; 2*5 + 1 = B₍₁₆₎; číslo 5B₍₁₆₎ (= 7*D₍₁₆₎ = 7*13₍₁₀₎) a tudíž v šestnáctkové soustavě neexistuje unikátní prvočíslo s délkou p.h. l = 3.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Některé repunity 111 mohou být i mocninou prvočísla (například v osmnáctkové soustavě je to 7, protože 7^3 = 111₍₁₈₎, případně mohou být mocninou i třetiny takových repunitů (ce = pⁿ). V tom případě patřičné odmocniny takových čísel jsou v dané soustavě unikátní prvočísla.
Pokud číslo ce_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 3, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Prvočísla o délce p.h. l = 3 vždy vyhovují vzorci 6n + 1.
V soustavě z + 1 mají odpovídající prvočísla délku p.h. l = 6 a v té soustavě jsou rovněž unikátními prvočísly (U₆). Repunitová prvočísla 111_(z) jsou zároveň unikátními prvočísly U₆ v soustavě z + 1. V těchto soustavách (t.j. z + 1) mají tato unikátní čísla (U₆) tvar g1, kde g = základ té soustavy - 1. (Pro desítkovou soustavu 91, kteréžto ovšem není unikátní, neboť je součinem 7*13)

Tabulka nejmenších unikátních p (U₃)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₃ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 3
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/4 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/3)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)
p_(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z

Tabulka nejmenších unikátních p 111^-n_(z) nebo ce_(z) (U₃)
p₍₁₀₎	7	13	19	37	61	127	271	331	397	547	631	919	1657	1801	1951	2269	2437	2791	3169	3571	4219	4447	5167
z	4, 18	22	7	10	13	19	28	31	34	40	43	52	70	73	76	82	85	91	97	103	112	115	124
f k/6	1	2	3	2∙3	2∙5	3∙7	3^2∙5	5∙11	2∙3∙11	7∙13	3∙5∙7	3^2∙17	2^2∙3∙23	2^2∙3∙5^2	5^2∙13	2∙3^3∙7	2∙7∙29	3∙5∙31	2^4∙3∙11	5∙7∙17	19∙37	3∙13∙19	3∙7∙41
l.p.(10)	6	6	18	3	60	42	5	110	99	91	315	459	552	900	195	2268	1218	31	72	3570	4218	4446	5166
p_(z)	13, 7	13	25	37	49	06:13	09:19	10:21	11:23	13:27	14:29	17:35	23:47	24:49	25:51	27:55	28:57	30:61	32:65	034:069	037:075	038:077	041:083
p_(z+1)	12, 7	13	23	34	45	06:07	09:10	10:11	11:12	13:14	14:15	17:18	23:24	24:25	25:26	27:28	28:29	30:31	32:33	034:035	037:038	038:039	041:042

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

(Unikátní p: l = 6 je vynecháno, protože je shodné s Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3, případně se zde uvedenými, jen z jsou vždy o 1 větší. Prvočísla jsou ve tvaru g1, kde g = z - 1)

Repunity

Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3
následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 5

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U3)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₃)