Prvočísla/Charakteristiky prvočísel

Z Wikiverzity
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, zbytek v je znám od počátků novověku; vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Protože jsem výzkum provedl pouze já, bez přímé součinnosti s kýmkoliv jiným, a i z jiných důvodů (např. šetření místem/objemem článku), zabývá se pouze velmi úzkým aspektem vlastností prvočísel. kusurija.

Co obvykle víme o prvočíslech[editovat]

Nejčastěji pouze fakt, že je prvočíslem. U obrovských prvočísel, objevených v poslední době, je to jedna z mála ucelených infornací, která jsou známa o daném prvočísle. Samozřejmě, existuje mnoho nadšenců (nebo z jiných důvodů zasvěcených), kteří mohou vyjmenovat ještě mnoho dalších vlastností, často i důležitých (například příslušnost k té či oné skupině/třídě čísel). Můj výzkum se zabývá velmi úzkou oblastí, která má vztah k délce period převrácených hodnot prvočísel v různých číselných soustavách.

Délka periody převrácené hodnoty[editovat]

Na základních školách se v této otázce můžeme někdy setkat s nezcela přesnou a nepřesně vymezující oblast "účinnosti" základní/"kardinální" poučkou: "Délka periody převrácené hodnoty prvočísla je rovna toto prvočíslo mínus jedna." Příklad: 1/7 = 0,142857... přičemž řetězec 142857 o délce 6 (=7-1) cifer se periodicky nekonečně opakuje. Čímž je řečeno pouze A, B a mnoho dalšího se již nevykládá. Mezi ona nevyřčená B a další by příslušelo dodat: Tak tomu je v některých určitých číselných soustavách. To, ve kterých soustavách tomu tak je, přesněji: která je nejnižší číselná soustava, ve které tomu tak je (délka periody je maximální možná), patří mezi nejzákladnější vlastnosti/charakteristiky tohoto prvočísla. U prvočísla 7 je to trojková soustava. Z této základní charakteristiky lze odvodit i všechy vedlejší charakteristiky (blíže v článku/rozcestníku Délky period převrácených hodnot prvočísel). Protože platí, že stejná délka převrácené hodnoty prvočísla p (dále jen l), jaká je v číselné soustavě o základu a (dále jen z) (z0), je i ve všech dalších soustavách z, pro které platí zm = z0 + p tato délka l shodná. Tedy pro "naši" známou desítkovou soustavu pro p=7 platí totéž co pro trojkovou soustavu o délce l: l = 6. Stejně jako v sedmnáctkové, čtyřiadvacítkové, jednatřicítkové atd. soustavách, ale též pětkové, dvanáctkové, devatenáctkové atd. Což je ovšem jinak, než v soustavě dvojkové, tam je l = 3, stejně, jako v devítkové, šestnáctkové, třiadvacítkové, třicítkové atd. soustavách, ale též ve čtyřkové, jedenáctkové, osmnáctkové atd.

Další příklad: p=13. Základní charakteristikou tohoto prvočísla je, že nejnižší z, ve které je l maximální je 2. Další pravidlo (blíže v článku/rozcestníku Délky period převrácených hodnot prvočísel), praví, že v z = z02 je délka periody l poloviční, než l0, pokud je toto l0 dělitelné dvěmi (=sudé) nebo rovno l0, pokud je toto l0 nedělitelné dvěmi (=liché), podobně je tomu s dalšími mocninami z0: v z = z03 je délka periody l třetinová, než l0, pokud je toto l0 dělitelné třemi nebo je rovno l0, pokud je toto l0 nedělitelné třemi, v z = z04 je délka periody l čtvrtinová, než l0, pokud je toto l0 dělitelné čtyřmi nebo je poloviční, pokud je l0 dělitelné dvěma, ale nedělitelné čtyřmi, nebo je rovno l0, pokud je toto l0 nedělitelné dvěma atd. Čímž dostáváme, že v z = 4 (22) je l = 6 (a podle dalšího pravidla, vztahujícího se pouze na l = 3 a = 6; v z = 3 (4 - 1) je l = 3), v z = 8 (23) je l = 4 (12/3), v z = 16 (24), stejně jako z = 3 (16-13) je l = 3, v z = 32 (25), stejně jako z = 19 a v z = 6 (32 - n*13) je l = 12 (12 není dělitelné 5), v z = 64 (26), stejně jako z = 51, z = 38, z = 25 a v z = 12 (64 - n*13) je l = 2, atd. Tímto postupem (nebo za využití dalších pravidel (blíže v článku/rozcestníku Délky period převrácených hodnot prvočísel)) dostaneme rozložení délek l pro p = 13 v jednotlivých soustavách: (uvedeno zkáceně ve tvaru z/l (z - příslušná číselná soustava; l - délka periody p.h. p = 13): 2/12; 3/3; 4/6; 5/4; 6/12; 7/12; 8/4; 9/3; 10/6; 11/12; 12/2; 13/0; 14/1. Podle pravidla o stejných délkách l v zm = z0 + p další informace nejsou zapotřebí. Z toho také vyplývá, proč "okleštěné" (od informace B a další) pravidlo, nahoře uvedené, selhává v desítkové soustavě o prvočísle 13: jeho l není 12 (maximální možná) ale jen 6. Totéž platí i v nekonečném množství číselných soustav, ale jen těch zm, pro které platí: zm = z0 + 13, kde z0 jsou 4 a 10.

Délka periody převrácené hodnoty mocnin prvočísel[editovat]

Obecně pro délku l druhé mocniny prvočísla p2 v dané soustavě z platí jedna ze dvou možností: častější - l p^2 = l p * p. Tedy, pokud l 7 je v dané z = 6, potom l 49 = 6 * 7 = 42. Pokud l 7 je v jiné soustavě z = 3, potom v této soustavě je l 49 = 3 * 7 = 21. Pokud platí tato možnost, potom i l p^n je lp * p^n-1. V některých soustavách z je ovšem situace jiná, tam l p^2 = lp (stejná). Teprve u 3 (a vyšších) mocniny je délka l p^3 = lp^2 * p. Opět, pokud se nejedná o další situaci, kdy i třetí mocnina má stejnou délku l. Potom teprve čtvrtá mocnina má délku p krát delší než základní a podobně až do nekonečna. Tyto "výjimky" nejsou ve skutečnosti výjimkami, ale "železnou" zákonitostí. Hodnoty z těchto odlišností patří mezi základní charakteristiky prvočísel, ovšem odvozené od charakteristiky základní, t.j. (minimální (nebo jakákoliv)) hodnota z, pro kterou l = k.

Moje vlastní terminologie pro tento článek[editovat]

  • kořen (značka: k): k = p - 1. Maximální možná délka periody převrácené hodnoty prvočísla.
  • l - konkrétní délka periody převrácené hodnoty prvočísla v dané číselné soustavě (nebo jinak specifikovaná/odvozená)
  • polosudý, -á, -é - (značka: h): dělitelný 2 a zároveň nedělitelný 4. Vyhovuje vzorci h = (2n + 1)* 2. Ve skutečnosti sudý.
  • ssudý (supersudý, super-even), -á, -é - (značka: x): dělitelný 4. Vyhovuje vzorci x = 4n (použití nejen pro čísla (2n + 1)* 4)
  • p - značka pro prvočíslo (obecně používaná)
  • z - základ číselné soustavy a (a je obecně používaná značka, zde však použiji značku z, protože je zároveň značkou pro zbytek po dělení)
  • *, ∙, těsné sousedství symbolů, z nichž druhý (a/i/nebo další) je neciferný (algebraický - písmeno, značka) znaky násobení. (obecně používané)
  • ^; číslo nebo písmeno/značka v horním indexu vpravo - znaky pro umocňování. (obecně používané)
  • l k - l = k, tedy maximální možná délka periody p.h. (pokud není uvedeno jinak/v jiné souvislosti, znamená nejmenší z, pro kterou je tato l k, tedy maximální). Základní charakteristika prvočísla, všechny ostatní charakteristiky z ní lze vypočíst. Pro polosudá k je jako základní charakteristika vhodnější l k/2, protože pro tyto délky platí, že soustava p - l k/2l k. Značka: χ.
  • l (z) - l v dané soustavě z.
  • l n - l = n. Za dvojtečkou následuje nejmenší z, pro kterou l = n. Poznámka: je-li index v závorce, jedná se o soustavu z (v soustavě z), je-li bez závorky, jedná se o délku periody.
  • l p - l pro dané prvočíslo p.
  • l (^2) - soustava z, ve které je l p^2 rovno l p a nikoliv l p * p.

K čemu je dobrá znalost l k[editovat]

Spíše bych měl vysvětlit, jaké problémy by přinesla její neznalost. Dejme tomu, že máme nějaké poměrně velké prvočíslo pR. Například repunitové prvočíslo (ale může to být i jakkoliv jinak "získané" p). Dejme tomu, že není zas až tak obrovské, že jsme schopni provést faktorizaci (rozklad na prvočinitele) jeho k. A podle způsobu jeho "získání" (nebo i jinak), známe délku periody převrácené hodnoty l, která je podstatně menší, než k, v číselné soustavě z. Potom se můžeme o jiných délkách vyjádřit pouze v tom smyslu, co vyplývá ze zbytků po dělení v té číselné soustavě - a to jsou délky buď rovné zjištěnému l, nebo jeho celistvým zlomkům. O násobcích té délky (pokud se vyskytuje v množině dělitelů k) bychom se mohli dozvědět pouze náhodně, kdybychom mezi zbytky po dělení našli odpovídající mocninu zbytku z, pocházejícího z jiné soustavy. Což například u repunitových prvočísel nepřipadá v úvahu, tam se vyskytují pouze mocniny té číselné soustavy, ze které je repunitové prvočíslo odvozeno. Čím je p větší, tím je zjišťování (jiného l, než které vyplývá ze způsobu "obdržení" p) l obtížnější. Pro největší známá p si troufám odhadnout, že už jen faktorizace jejich k je nad síly dnešní techniky, natož zjištění, ve které z je l k.

Charakteristiky prvočísel[editovat]

Menší než 10[editovat]

  • 2 - Tato charakteristika je pro mne příliš složitá, nerozumím tomu, proto se vzdávám jejího uvedení; způsobuje mnoho zajímavých odchylek, vymyká se některým pravidlům...
  • 3 - Podobně jako u dvojky. Protože však je velmi důležitá pro "naši" desítkovou soustavu, několik nesouvislých poznámek: k = 2. l k:z = 2 (dále jen: l k:2). k/2 = 1. l k/2:z = 4. Tato skutečnost koresponduje s l 10 = 1, protože 10 = 4 + 2*3. Protože 3 je velmi malé prvočíslo, existuje poměrně velmi mnoho repunitových prvočísel o délce R = 3. Zároveň tato délka repunitu má výjimečnou vlastnost: - viz článek Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3: 3. bod teorie. Pro l (^2) = 1 z = 10, pro l (^2) = 2 z = 8. Pro l (^3) = 1 z = 28, pro l(^3) = 2 z = 26. Nejmenší repunitové prvočíslo (R=2;z=2)
  • 5 - k = 4 = 2∙2. l k:2, l k/2:4. l (^2) = 4:z=7; l (^2) = 2:z=24; l (^3) = 4:z=57; l (^4) = 4:z=182; l (^5) = 4:z=1068; l (^6) = 4:z=také 1068; l (^7) = 4:z=32318... R 5.
  • 7 - k = 6 = 2∙3. l k/2:2. l (^2) = 3:z=18; l (^3) = 3:z=také 18; l (^4) = 3:z=1047; l (^5) = 3:z=1353; l (^6) = 3:z=34967... R 7.

11 - 47[editovat]

  • 11 - k = 10 = 2∙5. l k/2:3. l (^2) = 5:z=také 3; l (^3) = 5:z=124; l (^4) = 5:z=1963; l (^5) = 5:z=37107; l (^6) = 5:z=1013015... R 11.
  • 13 - k = 12 = 2^2∙3. l k:2; l 3:3; l 4:5. l (^2) = 12:z=19; l (^3) = 12:z=418; l (^4) = 12:z=4812; l (^5) = 12:z=119056; l (^6) = 12:z=1965658...
  • 17 - k = 16 = 2^4. l k:3, l 4:4. l (^2) = 16:z=40; l (^3) = 16:z=158; l (^4) = 16:z=4260; l (^5) = 16:z=162782... R 17.
  • 19 - k = 18 = 2∙3^2. l k/2:4, l 3:7. l (^2) = 9:z=28; l (^3) = 9:z=956; l (^4) = 9:z=20244; l (^5) = 9:z=333257... R 19.
  • 23 - k = 22 = 2∙11. l k/2:2. l (^2) = 11:z=118; l (^3) = 11:z=1764; l (^4) = 11:z=19214; l (^5) = 11:z=4888359... R 23.
  • 29 - k = 28 = 2^2∙7. l k:2, l 4:12, l 7:7. l (^2) = 28:z=14; l (^3) = 28:z=1215; l (^4) = 28:z=2463; l (^5) = 28:z=2145017... R 29.
  • 31 - k = 30 = 2∙3∙5. l k/2:7, l 3:5; l 5:2. l (^2) = 15:z=235; l (^3) = 15:z=6962; l (^4) = 15:z=15714; l (^5) = 28:z=5890815... R 31.
  • 37 - k = 36 = 2^2∙3^2. l k:2; l 9:7, l 4:6. l (^2) = 36:z=18; l (^3) = 36:z=2262; l (^4) = 36:z=241368; l (^5) = 36:z=2378429... R 37.
  • 41 - k = 40 = 2^3∙5. l k:6; l 8:3; l 5:10. l (^2) = 40:z=313; l (^3) = 40:z=1172; l (^4) = 40:z=20677; l (^5) = 40:z=649828... R 41.
  • 43 - k = 42 = 2∙3∙7. l k/2:9; l 7:4. l (^2) = 21:z=210; l (^3) = 21:z=4059; l (^4) = 21:z=573171; l (^5) = 21:z=3228564... R 43.
  • 47 - k = 46 = 2∙23. l k/2:2. l (^2) = 23:z=53; l (^3) = 23:z=10390; l (^4) = 23:z=225947... R 47.

Protože všechny údaje, uvedené navíc po základních charakteristikách (1. faktorizace k a 2. nejmenší z pro l k (ssudá k) resp. pro l k/2 (polosudá k) - dále ji budu označovat v tabulce symbolem χ) lze snadno z těchto údajů odvodit/vypočítat, uvedu tyto údaje dále již koncentrovaně v tabulce. Prvočísla s polosudým k a jejich odpovídající χ pro jistotu označím * (hvězdičkou). Připomínám, že (pouze) u polosudých k platí pro z = p - χ(l k/2) je délka l dvojnásobná, čili =k.

Tabulky pro p 53 - 157, 163 - 277, 281 - 397[editovat]

Tabulka charakteristik p 53 - 157
p 53 59* 61 67* 71* 73 79* 83* 89 97 101 103* 107* 109 113 127* 131* 137 139* 149 151* 157
f k 2^2∙13 2∙29 2^2∙3∙5 2∙3∙11 2∙5∙7 2^3∙3^2 2∙3∙13 2∙41 2^3∙11 2^5∙3 2^2∙5^2 2∙3∙17 2∙53 2^2∙3^3 2^4∙7 2∙3^2∙7 2∙5∙13 2^3∙17 2∙3∙23 2^2∙37 2∙3∙5^2 2^2∙3∙13
χ 2 3* 2 4* 2* 5 2* 3* 3 5 2 2* 3* 6 3 9* 3* 3 4* 2 5* 5
Tabulka charakteristik (pokračování) p 163 - 277
p 163* 167* 173 179* 181 191* 193 197 199* 211* 223* 227* 229 233 239* 241 251* 257 263* 269 271* 277
f k 2∙3^4 2∙83 2^2∙43 2∙89 2^2∙3^2∙5 2∙5∙19 2^6∙3 2^2∙7^2 2∙3^2∙11 2∙3∙5∙7 2∙3∙37 2∙113 2^2∙3∙19 2^3∙29 2∙7∙17 2^4∙3∙5 2∙5^3 2^8 2∙131 2^2∙67 2∙3^3∙5 2^2∙3∙23
χ 4* 2* 2 3* 2 2* 5 2 2* 4* 9* 3* 6 3 2* 7 3* 3 2* 2 2* 5


Tabulka charakteristik (pokračování) p 281 - 397
p 281 283* 293 307* 311* 313 317 331* 337 347* 349 353 359* 367* 373 379* 383* 389 397
f k 2^3∙5∙7 2∙3∙47 2^2∙73 2∙3^2∙17 2∙5∙31 2^3∙3∙13 2^3∙79 2∙3∙5∙11 2^4∙3∙7 2∙173 2^2∙3∙29 2^5∙11 2∙179 2∙3∙61 2^2∙3∙31 2∙3^3∙7 2∙191 2^2∙97 2^2∙3^2∙11
χ 3 6* 2 7* 2* 10 2 5* 10 3* 2 3 2* 2* 2 4* 2* 2 5

Tabulky pro p 401 - 521, 523 - 631, 641 - 757, 761 - 883[editovat]

Poznámky:

  • Protože u číselných soustav se pravděpodobně nedopracuji k l více, než 400, nebudu dále uvádět odkazy při větších délkách než 400 s výjimkou soustav z > 9.
  • U prvočísel, u kterých k má více než 20 možných různých dělitelů (výjimečně i jindy), budu uvádět i vybraná l n. (Pokud možno nesoudělná l; z o délce l n1 * n2 získáme vynásobením z1 * z2, v případě potřeby výpočtem patřičného modulu k p).
Tabulka charakteristik (pokračování) p 401 - 521
p 401 409 419* 421 431* 433 439* 443* 449 457 461 463* 467* 479* 487* 491* 499* 503* 509 521
f k 2^4∙5^2 2^3∙3∙17 2∙11∙19 2^2∙3∙5∙7 2∙5∙43 2^4∙3^3 2∙3∙73 2∙13∙17 2^6∙7 2^3∙3∙19 2^2∙5∙23 2∙3∙7∙11 2∙233 2∙239 2∙3^5 2∙5∙7^2 2∙3∙83 2∙251 2^2∙127 2^3∙5∙13
χ 3 21
l 17: 5
3* 2
l 5: 252; l 7: 33
5* 5 5* 3* 3 13 2 2* 3* 2* 2* 4* 5* 2* 2 3
Tabulka charakteristik (pokračování) p 523 - 631
p 523* 541 547* 557 563* 569 571* 577 587* 593 599* 601 607* 613 617 619* 631*
f k 2∙3^2∙29 2^2∙3^3∙5 2∙3∙7∙13 2^2∙139 2∙281 2^3∙71 2∙3∙5∙19 2^6∙3^2 2∙293 2^4∙37 2∙13∙23 2^3∙3∙5^2 2∙3∙101 2^2∙3^2∙17 2^3∙7∙11 2∙3∙103 2∙3^2∙5∙7
χ 4* 2
l 4: 52;
l 27: 28
4* 2 3* 3 5* 5
l 64: 20;
l 9: 287
3* 3 3* 7
l 8: 59; l 25: 2
2* 2 3 4* 9
l 9: 32; l 7: 21
Tabulka charakteristik (pokračování) p 641 - 757
p 641 643* 647* 653 659* 661 673 677 683* 691* 701 709 719* 727* 733 739* 743* 751* 757
f k 2^7∙5 2∙3∙107 2∙17∙19 2^2∙163 2∙7∙47 2^2∙3∙5∙11 2^5∙3∙7 2^2∙13^2 2∙11∙31 2∙3∙5∙23 2^2∙5^2∙7 2^2∙3∙59 2∙359 2∙3∙11^2 2^2∙3∙61 2∙3^2∙41 2∙7∙53 2∙3∙5^3 2^2∙3^3∙7
χ 3
l 128: 21;
l 5: 357
7* 2*
l 17: 43;
l 19: 55
2 3* 2
l 4: 106;
l 11: 9;
l 15: 12
5
l 32: 107;
l 21: 108
2
l 4: 26;
l 169: 6
10*;
l 31: 3
6* 2 2 2* 7*
l 121: 2
6;
l 12: 113
6* 2* 2* 2;
l 4: 87;
l 27: 10;
l 7: 59

Tabulky pro p 761 - 883, 887 - 1013[editovat]

Tabulka charakteristik (pokračování) p 761 - 883
p 761 769 773 787* 797 809 811* 821 823* 827* 829 839* 853 857 859* 863* 877 881 883*
f k 2^3∙5∙19 2^8∙3 2^2∙193 2∙3∙131 2^2∙199 2^3∙101 2∙3^4∙5 2^2∙5∙41 2∙3∙137 2∙7∙59 2^2∙3^2∙23 2∙419 2^2∙3∙71 2^3∙107 2∙3∙11∙13 2∙431 2^2∙3∙73 2^4∙5∙11 2∙3^2∙7^2
χ 6 11;
l 256: 7
2 4* 2 3 5*;
l 81: 39
2 2* 3*;
l 59: 25
2;
l 36: 43;
l 23: 11
2* 2 3;
l 107: 16
4*;
l 11: 13
2* 2 3;
l 16: 68;
l 11: 32
4*;
l 49: 17
Tabulka charakteristik (pokračování) p 887 - 1013
p 887* 907* 911* 919* 929 937 941 947* 953 967* 971* 977 983* 991* 997 1009 1013 1019*
f k 2∙433 2∙3∙151 2∙5∙7∙13 2∙3^3∙17 2^5∙29 2^3∙3^2∙13 2^2∙5∙47 2∙11∙43 2^3∙7∙17 2∙3∙7∙23 2∙5∙97 2^4∙61 2∙491 2∙3^2∙5∙11 2^2∙3∙83 2^4∙3^2∙7 2^2∙11∙23 2∙509
χ 2* 4*;
l 151: 10
3*;
l 91: 2
5*;
l 51: 8
3;
l 29: 20
5;
l 13: 36;
l 72: 66
2;
l 20: 23;
l 47: 34
3* 3;
l 17: 16
2* 3* 3;
l 61: 14;
l 16: 52
2* 2*;
l 45: 59*;
l 11: 42
7;
l 12: 91
11;
l 16: 62;
l 63: 28
3;
l 44: 65;
l 23: 16
3*