Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 4

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 4: 1111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 4: 1111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11 * 101. Ne v každé soustavě je 101_(z) prvočíslo, tak jak je tomu například v desítkové soustavě.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo 101_(z) je složené, mají v sudých soustavách faktory délku p.h. l = 4, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
V lichých soustavách je pochopitelně vždy jedním z faktorů číslo 2. To však v dané soustavě má vždy l = 1 (ne 4). Podíl (101/2)_(z) je vždy ve tvaru z/2-1/2:z/2+1/2, tedy v trojkové soustavě 12₍₃₎ (1 = 3₍₁₀₎/2 - 1/2) (2 = 3₍₁₀₎/2 + 1/2; 1 = 10₍₃₎/2 - 1/2) (2 = 10₍₃₎/2 + 1/2), v jedenáctkové soustavě 56₍₁₁₎, v 783 soustavě 391:392₍₇₈₃₎ atd... Obecná značka: ab.
Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
Prvočísla o délce p.h. l = 4 vždy vyhovují vzorci 4n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₄)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₄ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 4
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/4 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/4)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 101_(z) nebo ab_(z) (U₄)
p	5	13	17	29	37	41	61	101	113	181	197	257	313	401	421	577	613	677	761	1013	1201	1297	1301	1601
z	2, 3, 7*	5, 239*	4	41*	6	9	11	10	15	19	14	16	25	20	29	24	35	26	39	45	49	36	51	40
f k/4	1	3	2^2	7	3^2	2∙5	3∙5	5^2	2^2∙7	3^2∙5	7^2	2^6	2∙3∙13	2^2∙5^2	3∙5∙7	2^4∙3^2	3^2∙17	13^2	2∙5∙19	11∙23	2^2∙3∙5^2	2^2∙3^4	5^2∙13	2^4∙5^2
l.p.(10)	0	6	16	28	3	5	60	4	112	180	98	256	312	200	140	576	51	338	380	253	200	1296	1300	200

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 101_(z) nebo ab_(z) (U₄)
p	1741	1861	2113	2381	2521	2917	3121	3137	3613	4357	4513	5101	5477	7057	7321	8101	8581	8837
z	59	61	65	69	71	54	79	56	85	66	95	101	74	84	121	90	131	94
f k/4	3∙5∙29	3∙5∙31	2^4∙3∙11	5∙7∙17	2∙3^2∙5∙7	3^6	2^2∙3∙5∙13	2^4∙7^2	3∙7∙43	3^2∙11^2	2^3∙3∙47	3∙5^2∙17	37^2	2^2∙3^2∙7^2	2∙3∙5∙61	3^4∙5^2	3∙5∙11∙13	47^2
l.p.(10)	1740	1860	2112	476	630	1458	156	3136	602	242	1504	1700	1369	7056	3660	1620	2860	4418

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 101_(z) nebo ab_(z) (U₄)
p	9661	9941	10513	12101	12641	13457	13613	14281	14401	14621	15313	15377	15877	16381	16901	17957	19013	19801
z	139	141	145	110	159	116	165	169	120	171	175	124	126	181	130	134	195	199
f k/4	3∙5∙7∙23	5∙7∙71	2^2∙3^2∙73	5^2∙11^2	5∙7∙89	2^2∙29^2	41∙83	2∙3∙5∙7∙17	2^4∙3^2∙5^2	5∙17∙43	2^2∙3∙11∙29	2^2∙31^2	3^4∙7^2	3^2∙5∙7∙13	5^2∙13^2	67^2	7^2∙97	2∙3^2∙5^2∙11
l.p.(10)	1380	1988	10512	12100	3160	13456	6806	1190	3600	14620	5104	15376	567	5460	3380	8978	4753	9900