Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 47

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 47: 11111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 47n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 47.
3. Kromě prvočísla 47, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 47) vyhovují vzorci 94n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 46; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně čtyřicet šest (protože 47 - 1 = 46) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 47.
6. Ve čtyřiceti šesti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 94 (111...111)₉₄.
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 47)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/94 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/94)
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
11111111111111111111111111111111111111111111111_(z) (R = 47)
z	p	f k/94
5	177635683940025046467781066894531	3∙5∙8971∙332207361361∙42272797713043
17	423622795798733187216959754496018087627393990881167960767	3^2∙17∙26552618219228090162977481∙ ∙1109309383381084655697725873
19	70169234660105574400577005075855017842743056666917902427141	2∙5∙19∙277∙691∙2347∙2531∙16497763013∙ ∙1335495402823∙156832034288392140949
55	116052004561246271601363039971898739754708554056434805985460385542224954675745081	2^2∙5∙7∙11∙139∙2393∙1320838364081∙233739146375730547∙ ∙9572889968109521629∙815497018760514845893
62	28647027924883365832009197540551494206203337922266156117533489001511682209161111787	3^2∙7∙31∙139∙1933∙16699∙4825281137∙23548081169∙214974545833∙ ∙1498683775957∙950029658567902449005947

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte