Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 37

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 37: 1111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 37n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 37.
3. Kromě prvočísla 37, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 37) vyhovují vzorci 74n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 36; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně třicet šest (protože 37 - 1 = 36) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 37.
6. Ve třiceti šesti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 74 (111...111)₇₄.
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 37)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/74 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/74)
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
1111111111111111111111111111111111111_(z) (R = 37)
z	p	f k/74
61	19013087418896543607659206142267856546797091624826498592389251997	2∙3^2∙7∙13∙19∙31∙61∙73∙97∙181∙523∙1861∙8677∙ ∙45289∙145477∙824077∙5937553∙13842121∙903870199
77	83050688872181792062911510280689447476301196161748956451938490287421	2∙3^3∙5∙7∙11∙13∙73∙109∙593∙829∙1567∙1951∙6007∙ ∙42397∙89533∙1198261∙8172469∙544660381∙2855107351
94	108955117812980031260829358977018849062057332069273137443215947114490891	3^2∙5∙7∙13∙19∙47∙229∙523∙1249∙8837∙9739∙ ∙70835707∙78066061∙439688089∙12862711211177392072813
97	337507116686293990049793563249167463387817822419468016366663340756115941	2∙3^2∙5∙7^2∙13∙19∙67∙73∙97∙139∙941∙1153∙2161∙2521∙ ∙3169∙41617∙1194157∙240813217∙6460614757∙43840583803
99	703519475376610203678157821374808505235880558798127805785987432380238201	2^2∙3^2∙5^2∙11∙13^2∙19^2∙29∙31∙127∙313∙9901∙30637∙ ∙39097∙650827∙20535283∙96049801∙2198833093∙13157816761
113	82164532059904939917487035097771458271804140310352688400187236361098038661	2∙3^3∙5∙13∙19∙97∙109∙113∙523∙733x991∙1277∙2293∙4219∙ ∙11161∙17047∙12173653∙122130181∙10496306153400002389

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte