Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 23

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 23: 11111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 23n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 23.
3. Kromě prvočísla 23, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 23) vyhovují vzorci 46n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 22; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně dvaadvacet (protože 23 - 1 = 22) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 23.
6. Ve dvaadvaceti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 46 (111...111)₄₆.
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 23)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/46 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/46)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
11111111111111111111111_(z) (R = 23)
z	p	f k/46
10	11111111111111111111111	5∙11^2∙4093∙8779∙21649∙513239
40	180432677378625641025641025641025641	2^2∙5∙41∙67∙148721∙1079314963∙444783032873807
82	1285978139266094478723147821625123656873807	41∙67∙83∙727∙3163051∙2854687177∙18678408660030109
113	1484520425576434196455942238665054573307722183	3∙19∙113∙617∙555085255645420259∙14629523839100351479
127	19369349555573971915591022666834837417546889857	2^6∙127∙20681∙383791∙136447203773∙47834644354838156839
141	193157490935727804972948182967804496070577507043	3∙47∙71∙397∙5347∙25435728659275331∙7768396574209520833
170	11815129527135812900922524090532544378698224852071	3^2∙5∙17∙19∙23∙89∙4580229127∙49165992877∙38335025679391729399
257	104766363920641215957168544536885389560421667434134807	3∙43∙257∙331∙139987∙5068537∙5331462137∙54865148032607481054509

11111111111111111111111: l.p. = 23 v desítkové soustavě.

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte