Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 43

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 43: 1111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 43n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 43.
3. Kromě prvočísla 43, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 43) vyhovují vzorci 86n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 42; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně čtyřicet dva (protože 43 - 1 = 42) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 43.
6. Ve čtyřiceti dvou soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 86 (111...111)₈₆.
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 43)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/86 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/86)
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
1111111111111111111111111111111111111111111_(z) (R = 43)
z	p	f k/86
15	26656068987980386414408582952871386493955339704241	2^3∙3∙5∙7∙211∙241∙723031∙1743463∙10678711∙ ∙191354311∙2817034275427
21	35842614220783025524408588074144786493150233831596714503	3∙7∙11∙337∙421∙463∙631∙3319∙4789∙6427∙81867661∙ ∙227633407∙22864311556633
26	279199061472649689615930789290784389297167871396904357110743	3^4∙7^2∙13∙19∙31∙37∙71^2∙211∙337∙59011∙90847∙321272407∙ ∙2997305809∙1560259846741
86	1794793457558728068881896380589101991122424128407905197767108407160765177758155523	3^2∙7^2∙29∙379∙421∙883∙1069∙2437∙52543∙1080018073∙ ∙399917037031∙7485220045983037∙26172416842386831031

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte