Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 17

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 13: 11111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 17n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 17.
3. Kromě sedmnáctky, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 17) vyhovují vzorci 34n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 16; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně šestnáct (protože 17 - 1 = 16) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 17.
6. V šestnácti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 34 (1111111111111111111111111111111111).
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 17)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/34 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/34)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p 11111111111111111_(z) (R = 17)
p	131071	50544702849929377	689852631578947368421	1502097124754084594737	148020807352107352204781	751670559138758105956097
z	2	11	20	21	28	31
f k/34	3∙5∙257	2^4∙3∙11∙61∙7321∙ ∙6304673	2∙3∙5∙7∙401∙160001∙ ∙1505882353	2^3∙3∙7∙11∙13∙62897∙ ∙97241∙300673	2∙5∙7∙29∙157∙ ∙614657∙22223646961	2^7∙13∙31∙37∙409∙1129∙ ∙25085030513

Jiné uspořádání téže tabulky:

Tabulka nejmenších repunitových p
11111111111111111_(z) (R = 17)
z	p	f k/34
2	131071	3∙5∙257
11	50544702849929377	2^4∙3∙11∙61∙7321∙6304673
20	689852631578947368421	2∙3∙5∙7∙401∙160001∙1505882353
21	1502097124754084594737	2^3∙3∙7∙11∙13∙62897∙97241∙300673
28	148020807352107352204781	2∙5∙7∙29∙157∙614657∙22223646961
31	751670559138758105956097	2^7∙13∙31∙37∙409∙1129∙25085030513
55	7141212583461249612878870081	2^5∙5∙7∙11∙41∙89∙111593∙5203937∙8045249
57	12638179502096199521694978001	2^3∙3∙5^3∙13∙19∙29∙769∙3361∙1268017∙5278001
62	48453916488902607769120106731	3^2∙5∙7∙31∙761∙769∙1009∙15217∙19417∙836497
84	6218272796370530483675222621221	2∙3∙5∙7∙673∙2089∙7057∙23833∙3683148456289
87	10897549321353520105257105986881	2^5∙3∙5∙11∙29∙757∙37361∙1684993∙43924369201
97	62065212901958868055012327674641	2^3∙5∙7^2∙97∙233∙941∙189977∙230512752775793
107	298001434996696772340986314384801	2^4∙3^3∙5^2∙107∙229∙3137∙4201∙15601∙161093043169
109	400706797255068758036954693985521	2^3∙5∙11∙13∙41∙97∙109∙457∙1721441∙6041730265889
129	5926729489711648265520067459564561	2^3∙3∙5∙13∙43∙53∙157∙193∙257∙138461441∙45472447793
147	47867620026061437583038716729209441	2^4∙3∙5∙7^2∙37∙97∙137∙401∙2161∙17569∙15992464241393

131071: l.p. = 3855 v desítkové soustavě.

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p.

Sledujte