Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 19

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 19: 1111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 19n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 19.
3. Kromě devatenáctky, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 19) vyhovují vzorci 38n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 18; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně osmnáct (protože 19 - 1 = 18) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 19.
6. V osmnácti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 38 (11111111111111111111111111111111111111).
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 19)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/34 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/38)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
1111111111111111111_(z) (R = 19)
z	p	f k/38
2	524287	3^3∙7∙73
10	1111111111111111111	3^2∙5∙7∙11∙13∙37∙52579∙333667
11	6115909044841454629	2∙3^3∙7∙11∙37∙590077∙1772893
12	29043636306420266077	2∙3∙7∙13∙37∙157∙1657∙1801∙80749
14	459715689149916492091	3^3∙5∙7∙61∙211∙397∙18973∙132049
19	109912203092239643840221	2∙3^2∙5∙7^3∙127∙199∙523∙29989∙236377
24	7282588256957615350925401	2^2∙3∙5^2∙7∙79∙127∙199∙601∙2017∙4987∙7561
40	70481514601025641025641025641	2^2∙3^2∙5∙7∙37∙41∙163∙223∙379∙547∙15373∙8376409
45	585578449280908796570517800071	3^2∙5∙7∙23∙109∙283∙7309∙10009∙829639∙1136089
46	869333244926326187979597262939	3^2∙7∙23∙37∙47∙103∙109∙307∙5581∙278029∙1697581
48	1868467947605686541562499217713	2^3∙3∙7^2∙13∙37∙61∙181∙5851∙65701∙110017∙186157
65	435686197988821897112429141998291	3^3∙5∙7∙11∙13∙37∙73∙181∙613∙7489∙55639∙679446991
66	573352114691143033129973591044159	3∙7∙11∙67∙109∙613∙4423∙39910303∙82653662521
67	751410597400064602523400427092397	2∙3^2∙7^2∙17∙31∙37∙67∙4423∙128674369∙30152894311
75	5713895385466654457755990930505701	2∙3∙5^2∙7∙13∙61∙73∙109∙127∙3313∙5701∙423001∙22367593
85	54285057541336632875522658938453311	3^2∙5∙17∙37∙43∙163∙193∙397∙1693∙2437∙23977∙949997233

524287: l.p. = 74898 v desítkové soustavě a 1111111111111111111: l.p. = 19 v desítkové soustavě.

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p.

Sledujte