Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 12

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 12: 111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 12: 111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 100010001_(z) * 1111_(z). (To je dále součinem 11 * 101). V každě soustavě je i číslo 100010001_(z) dále dělitelné číslem 10101_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gg01, kde g = 10_(z) - 1. Ne v každé soustavě je gg01_(z) prvočíslo, tak jak je tomu například v desítkové soustavě (9901).
Číslo gg01_(z) můžeme získat také takto: (z - 1) * z² * (z + 1) + 1 neboli (z² * (z² -1)) + 1, nebo z⁴ - z² + 1.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo gg01_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 12, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem. Obecná značka: gg01.
Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
Prvočísla o délce p.h. l = 12 vždy vyhovují vzorci 12n + 1.
- Poznámka: unikátní prvočísla o délce p.h. = 6 jsou ve tvaru g1; unikátní prvočísla o délce p.h. = 18 jsou ve tvaru ggg001 atd. pro U = 6n. S rostoucí délkou U frekvence výskytu silně klesá, u mnohých z zcela zaniká. U lichých n navíc přistupuje možnost dělitelnosti třemi, čímž dostáváme U v jiném tvaru (případně součin faktorů, jejichž délka p.h. = 6n).

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₂)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₂ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 12
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/12 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/12)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)
p_(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z

Tabulka nejmenších unikátních prvočísel gg01_(z) (U₁₂)
p	13	73	241	601	6481	9901	20593	28393	83233	390001	530713	809101	922561	1678321	2083693	2311921	3416953
z	2	3	4	5	9	10	12	13	17	25	27	30	31	36	38	39	43
f k/12	1	2∙3	2^2∙5	2∙5^2	2^2∙3^3∙5	3∙5^2∙11	2^2∙3∙11∙13	2∙7∙13^2	2^3∙3∙17^2	2^2∙5^4∙13	2∙3^5∙7∙13	3∙5^2∙29∙31	2^4∙5∙31^2	2^2∙3^3∙5∙7∙37	13∙19^2∙37	2^2∙3∙5∙13^2∙19	2∙7∙11∙43^2
l.p.(10)	6	8	30	300	270	12	1872	1352	27744	195000	176904	89900	76880	104895	1041846	260	1138984
p_(z)	1101	2201	3301	4401	8801	9901	BB01	CC01	GG01	24:24:00:01	26:26:00:01	29:29:00:01	30:30:00:01	35:35:00:01	37:37:00:01	38:38:00:01	42:42:00:01

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p gg01_(z) (U₁₂)
p	5306113	7308913	9147601	9831361	13842121	14772493	17846401	47451433	71630833	78066061	96049801	99990001
z	48	52	55	56	61	62	65	83	92	94	99	100
f k/12	2^6∙3∙7^2∙47	2^2∙13^2∙17∙53	2^2∙3^2∙5^2∙7∙11^2	2^4∙5∙7^2∙11∙19	2∙5∙31∙61^2	3∙7∙31^2∙61	2^5∙5^2∙11∙13^2	2∙7∙41∙83^2	2^2∙7∙13∙23^2∙31	5∙19∙31∙47^2	2∙3^3∙5^2∙7^2∙11^2	2^2∙3∙5^4∙11∙101
p_(z)	47:47:00:01	51:51:00:01	54:54:00:01	55:55:00:01	60:60:00:01	61:61:00:01	64:64:00:01	82:82:00:01	91:91:00:01	93:93:00:01	98:98:00:01	99:99:00:01

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 11
následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 13

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U12)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₂)