Přeskočit na obsah

Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 16

Z Wikiverzity
Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a w:en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie[editovat]

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 16: 1111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 16: 1111111111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111 * 100000001. Ne v každé soustavě je 100000001(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě.
  3. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  4. Pokud číslo 100000001(z) je složené, mají v sudých soustavách faktory délku p.h. l = 16, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
  5. V lichých soustavách je pochopitelně vždy jedním z faktorů číslo 2. To však v dané soustavě má vždy l = 1 (ne 16). Podíl (100000001/2)(z) je vždy ve tvaru z/2-1/2:z/2-1/2:z/2-1/2:z/2-1/2:z/2-1/2:z/2-1/2:z/2-1/2:z/2+1/2, tedy v trojkové soustavě 11111112(3) (1 = 3(10)/2 - 1/2) (2 = 3(10)/2 + 1/2; 1 = 10(3)/2 - 1/2) (2 = 10(3)/2 + 1/2), v jedenáctkové soustavě 55555556(11), v 783 soustavě 391:391:391:391:391:391:391:392(783) atd... Obecná značka: aaaaaaab, kde b=a+1.
  6. Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
  7. Prvočísla o délce p.h. l = 16 vždy vyhovují vzorci 16n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U16)[editovat]

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U16 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 16
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/16 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/16)
  • l.p. délka periody 1/p
  • p(z) - prvočíslo, zapsané v soustavě z
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p 100000001(z) nebo aaaaaaab(z) (U16)
p 257 65537 21523361 407865361 703204309121 5844100138801 11905643330881 22883972285201 31129845205681 256899187214321
z 2 4 9 13 33 43 47 51 53 69
f k/16 2^4 2^12 2∙5∙17∙41∙193 3∙5∙7∙17∙14281 2^3∙5∙17∙97∙109∙6113 3∙5^2∙7∙11∙17∙37∙193∙521 2^2∙3∙5∙13∙17∙23∙97∙25153 5^2∙13∙73∙1301∙46337 3^3∙5∙13∙17∙281∙232073 5∙7∙17∙113∙2381∙100297

Délky l.p.(10): 257: 256; 65537: 65536; 21523361: 5380840.

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 100000001(z) nebo aaaaaaab(z) (U16)
p 926510094425921 92170395205042177 97704377531445313 147578905600000001 284936905588473857 686031143343945313
z 81 132 145 140 152 185
f k/16 2^2∙5∙17∙41∙193∙21523361 2^12∙3^8∙11^8 2^2∙3^2∙17∙73∙10513∙13001489 2^12∙5^8∙7^8 2^20∙19^8 2∙3∙17∙23∙31∙109∙157∙3041∙11329

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho*, stejně jako ostatních unikátních prvočísel. *Ve vztahu k dvojkové soustavě, Pierre de Fermat vytvořil teorii (viz Fermat number - Fermatova čísla), že 2^(2^n) + 1 je prvočíslo. To ovšem platí pouze pro n = 0 (3), 1 (5), 2 (17), 3 (257) a 4 (65537); pro další známá Fermatova čísla to neplatí (n = 5 až 11 - jsou známy všechny faktory, pro n = 12 až 32 je známo, že nejsou prvočísly, ačkoliv nejsou známy všechny faktory; pro n = 20 a n = 24 nejsou známy žádné faktory). Podobný jev pro další číselné soustavy se nazývá generalizované Fermatovo číslo.

Sledujte[editovat]

Repunity[editovat]