Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 8

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 8: 11111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 8: 11111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111 * 10001. Ne v každé soustavě je 10001_(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo 10001_(z) je složené, mají v sudých soustavách faktory délku p.h. l = 8, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
V lichých soustavách je pochopitelně vždy jedním z faktorů číslo 2. To však v dané soustavě má vždy l = 1 (ne 8). Podíl (10001/2)_(z) je vždy ve tvaru z/2-1/2:z/2-1/2:z/2-1/2:z/2+1/2, tedy v trojkové soustavě 1112₍₃₎ (1 = 3₍₁₀₎/2 - 1/2) (2 = 3₍₁₀₎/2 + 1/2; 1 = 10₍₃₎/2 - 1/2) (2 = 10₍₃₎/2 + 1/2), v jedenáctkové soustavě 5556₍₁₁₎, v 783 soustavě 391:391:391:392₍₇₈₃₎ atd... Obecná značka: aaab, kde b=a+1.
Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
Prvočísla o délce p.h. l = 8 vždy vyhovují vzorci 8n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₈)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₈ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 8
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/8 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/8)
l.p. délka periody 1/p
p_(z) - prvočíslo, zapsané v soustavě z
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 10001_(z) nebo *aaab*_(z) (U₈)
p	17	41	257	313	1201	1297	7321	14281	41761	65537	97241	139921	160001	331777	353641	614657	750313	1156721	1336337	4477457	5278001
z	2	3	4	5	7	6	11	13	17	16	21	23	20	24	29	28	35	39	34	46	57
f k/8	2	5	2^5	2∙7	2∙3∙5^2	2∙3^4	3∙5∙61	3∙5∙ ∙7∙17	2^2∙3^2∙ ∙5∙29	2^13	5∙11∙ ∙13∙17	2∙3∙5∙ ∙11∙53	2^5∙5^4	2^9∙3^4	3∙5∙7∙ ∙421	2^5∙7^4	3^2∙17∙ ∙613	2∙5∙19∙ ∙761	2∙17^4	2∙23^4	2∙5^3∙7∙ ∙13∙29
l.p.(10)	16	5	256	312	200	1296	3660	1190	20880	65536	48620	4664	1250	36864	35364	614656	750312	289180	1336336	4477456	2639000

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 10001_(z) nebo *aaab*_(z) (U₈)
p	6922921	8503057	8925313	9834497	12705841	14199121	21523361	29986577	40960001	45212177	56275441	59969537	60775313	65610001	81523681
z	61	54	65	56	71	73	81	74	80	82	103	88	105	90	113
f k/8	3∙5∙31∙ ∙1861	2∙3^12	2^4∙3∙11∙ ∙2113	2^9∙7^4	2∙3^2∙5∙7∙ ∙2521	2∙3^2∙5∙ ∙13∙37∙41	2^2∙5∙17∙ ∙41∙193	2∙37^4	2^13∙5^4	2∙41^4	2∙3∙5∙13∙ ∙17∙1061	2^9∙11^4	2∙13∙37∙ ∙53∙149	2∙3^8∙5^4	2^2∙3∙5∙7∙19∙1277
l.p.(10)	230764	8503056	2975104	9834496	794115	1419912	1345210	29986576	16000	45212176	28137720	59969536	60775312	32805000	40761840