Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 8

Z Wikiverzity
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie[editovat]

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 8: 11111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 8: 11111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111 * 10001. Ne v každé soustavě je 10001(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě.
  3. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  4. Pokud číslo 10001(z) je složené, mají v sudých soustavách faktory délku p.h. l = 8, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
  5. V lichých soustavách je pochopitelně vždy jedním z faktorů číslo 2. To však v dané soustavě má vždy l = 1 (ne 8). Podíl (10001/2)(z) je vždy ve tvaru z/2-1/2:z/2-1/2:z/2-1/2:z/2+1/2, tedy v trojkové soustavě 1112(3) (1 = 3(10)/2 - 1/2) (2 = 3(10)/2 + 1/2; 1 = 10(3)/2 - 1/2) (2 = 10(3)/2 + 1/2), v jedenáctkové soustavě 5556(11), v 783 soustavě 391:391:391:392(783) atd... Obecná značka: aaab, kde b=a+1.
  6. Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
  7. Prvočísla o délce p.h. l = 8 vždy vyhovují vzorci 8n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U8)[editovat]

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U8 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 8
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/8 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/8)
  • l.p. délka periody 1/p
  • p(z) - prvočíslo, zapsané v soustavě z
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p 10001(z) nebo aaab(z) (U8)
p 17 41 257 313 1201 1297 7321 14281 41761 65537 97241 139921 160001 331777 353641 614657 750313 1156721 1336337 4477457 5278001
z 2 3 4 5 7 6 11 13 17 16 21 23 20 24 29 28 35 39 34 46 57
f k/8 2 5 2^5 2∙7 2∙3∙5^2 2∙3^4 3∙5∙61 3∙5∙
∙7∙17
2^2∙3^2∙
∙5∙29
2^13 5∙11∙
∙13∙17
2∙3∙5∙
∙11∙53
2^5∙5^4 2^9∙3^4 3∙5∙7∙
∙421
2^5∙7^4 3^2∙17∙
∙613
2∙5∙19∙
∙761
2∙17^4 2∙23^4 2∙5^3∙7∙
∙13∙29
l.p.(10) 16 5 256 312 200 1296 3660 1190 20880 65536 48620 4664 1250 36864 35364 614656 750312 289180 1336336 4477456 2639000
Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 10001(z) nebo aaab(z) (U8)
p 6922921 8503057 8925313 9834497 12705841 14199121 21523361 29986577 40960001 45212177 56275441 59969537 60775313 65610001 81523681
z 61 54 65 56 71 73 81 74 80 82 103 88 105 90 113
f k/8 3∙5∙31∙
∙1861
2∙3^12 2^4∙3∙11∙
∙2113
2^9∙7^4 2∙3^2∙5∙7∙
∙2521
2∙3^2∙5∙
∙13∙37∙41
2^2∙5∙17∙
∙41∙193
2∙37^4 2^13∙5^4 2∙41^4 2∙3∙5∙13∙
∙17∙1061
2^9∙11^4 2∙13∙37∙
∙53∙149
2∙3^8∙5^4 2^2∙3∙5∙7∙19∙1277
l.p.(10) 230764 8503056 2975104 9834496 794115 1419912 1345210 29986576 16000 45212176 28137720 59969536 60775312 32805000 40761840

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte[editovat]

(Unikátní p: l = 6 je vynecháno, protože je shodné s Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 3 nebo Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 3, jen z jsou vždy o 1 větší)

Repunity[editovat]