Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 11

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 11: 11111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 11n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 11.
3. Kromě jedenáctky, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 11) vyhovují vzorci 22n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; n = 6; n = 7; n = 8; n = 9 a n = 10; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně deset (protože 11 - 1 = 10) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 11.
6. V deseti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 22 (1111111111111111111111).
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 11)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/22 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/22)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p 11111111111_(z) (R = 11)
p	12207031	2141993519227	10778947368421	17513875027111	610851724137931	178250690949465223	614910264406779661
z	5	17	20	21	30	53	60
f k/22	3∙5∙71∙521	3^2∙17∙71∙ ∙101∙88741	2∙3∙5∙7∙61∙ ∙251∙152381	3∙5∙7∙40841∙ ∙185641	3∙5∙31∙71261∙ ∙837931	3^3∙53∙131∙2011∙ ∙3851∙5581	2∙3∙5∙31∙61∙411211∙ ∙1198151

Pokračování tabulky (R = 11)
z	p	f k/22
86	22390512687494871811	3∙5∙29∙41∙43∙281∙3581∙1318831
172	22793803793211153712637	2∙43∙173∙79104911∙880331261
195	79905927161140977116221	2∙3∙5∙7^2∙13∙41∙281∙1741∙11351∙834781
212	184251916941751188170917	2∙3∙53∙71∙811∙33721∙59621∙227501
224	319465039747605973452001	2^4∙3^2∙5^3∙7∙61∙1151∙199741∙8217841
229	398341412240537151131351	5^2∙23∙229∙251101831∙547620341
258	1311848376806967295019263	3∙7∙37∙43∙11471∙35251∙4413658891
268	1918542715220370688851293	2∙67∙269∙881∙534311∙5139509701
272	2224788103095252775416337	2^3∙3∙7∙13∙17∙7561∙726601∙495780211
319	10946376803645755558398401	2^5∙5^2∙29∙1291∙8046371∙2064588161
339	20103884474777628178008301	2∙3∙5^2∙17∙31∙61∙101∙113∙241∙331∙811∙256661
355	31879288615833218197028381	2∙5∙71∙89∙271∙58441651∙1447924171
365	42084301699910889795592591	3∙5∙41∙61∙73∙434089301∙1609127851
366	43251290971110888216717211	3∙5∙11∙61∙151∙367∙196961∙17895315631
389	79545183674814239059370551	3∙5^2∙13∙151∙191∙251∙389∙631∙16481∙126631
390	81613325789838673264781491	3∙5∙11∙13∙17∙23∙101∙491∙1897871∙46996421
398	99982337519643409760349883	3∙7∙19∙101∙199∙4261∙58451∙2275358221
414	148270141038997646210911051	3^2∙5^2∙23∙41∙83∙661∙19661∙29447718571
467	494424256962371823779424877	2∙3^2∙13∙31∙41∙467∙1931∙3409261∙24578551
480	650606050357027380375782881	2^4∙3∙5∙13∙31∙37∙71∙1871∙400441∙155348381
504	1059663354774304722247020601	2^2∙3^2∙5^2∙7∙31∙101∙86711∙148531∙189596501
534	1888976774958977346172320451	2^2∙3^2∙5^2∙7∙31∙101∙86711∙148531∙189596501
539	2073452741935435157127207301	2∙3^3∙5^2∙7^2∙16849230121∙84559333321
543	2232537893048389032268912993	2^4∙3∙17∙31∙41∙71∙181∙2161∙565571∙6229621
567	3440307138897334959524385577	2^2∙3^4∙7∙71∙9379383071∙103537783441
592	5296040444880385201504791377	2^3∙37∙41∙101∙491∙593∙941∙5501∙6551∙19891
619	8271964541879648991904246901	2∙5^2∙31x41∙61∙619∙1031∙1811∙212561∙394811
626	9256304820224069599673862511	3∙5∙19∙271∙313∙565763381∙30762501251
654	14336464059256733925010769851	3∙5^2∙109∙131∙331∙50321651∙36532335491
709	32142180034067960734115528951	5^2∙31∙71∙709∙26561∙61291∙103231∙222841
735	46074928506932435174091756961	2^4∙3∙5∙7^2∙11^2∙23∙61∙71∙1321∙2341∙4777811881

12207031: l.p. = 1220703 v desítkové soustavě.

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p.

Sledujte