Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 29

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 29: 11111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 29n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 29.
3. Kromě prvočísla 29, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 29) vyhovují vzorci 58n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 28; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně osmadvacet (protože 29 - 1 = 28) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 29.
6. Ve dvaceti osmi soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 58 (111...111)₅₈.
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 29)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/58 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/58)
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
11111111111111111111111111111_(z) (R = 29)
z	p	f k/58
6	7369130657357778596659	3∙7^2∙37∙197∙421∙55987∙5030761
40	739052246542850625641025641025641025641025641	2^2∙5∙41∙211∙1601∙18938851∙53040821∙4201025641∙10900346689
65	586553146232068395470571577233998687006533145904541	2∙3∙5∙11∙13∙43∙701∙2113∙3571∙739649∙2464127∙6757241∙841565826
70	4666530080888666270779140579710144927536231884057971	5∙7∙13^2∙43∙71∙421∙20693∙5767847∙2697487717∙32870458491383551081
114	3955143501266376703851007034313765761094490771849224666991	3∙5∙19∙23∙41∙197∙317∙449∙757∙94925293∙5148759841∙11240594723

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte