Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 7

Z Wikiverzity
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie[editovat]

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 7: 1111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
    1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=ab). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R2 (11) je 5 a osmičková soustava, kde R3 (111) je 73.
    2. V soustavách o základu 7n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 7.
    3. Kromě sedmičky, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 7) vyhovují vzorci 14n + 1 (p).
    4. V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci za + npb.
    5. V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za je (nezbytně) také v soustavě zb, vyhovující vzorci za n mod pb pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5 a n = 6; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně šest (protože 7 - 1 = 6) číselných soustav o zx, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 7.
    6. V šesti soustavách zy, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 14 (11111111111111).
  3. Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 7)[editovat]

legenda:

  • p - prvočíslo
  • R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/14 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/14)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších repunitových p 1111111(z) (R = 7)
p 127 1093 19531 55987 5229043 8108731 25646167 321272407 917087137 3092313043 4201025641 9684836827 31401724537 47446779661
z 2 3 5 6 13 14 17 26 31 38 40 46 56 60
f k/14 3^2 2∙3∙13 3^2∙5∙31 3∙31∙43 3∙13∙61∙157 3^2∙5∙
∙61∙211
3^3∙13∙
∙17∙307
3^4∙13∙
∙19∙31∙37
2^4∙3∙7∙
∙19∙31∙331
3^2∙13∙19∙
∙67∙1483
2^2∙3∙5∙
∙41∙223∙547
3∙19∙23∙
∙47∙103∙109
2^2∙3^2∙13∙
∙19∙31∙79∙103
2∙3∙5∙61∙
∙523∙3541
l.p.(10) 42 273 6510 9331 2614521 8108730 25646166 ? ? ? ? ? ? ?
Pokračování tabulky (R = 7)
z p f k/14
61 52379047267 3∙13∙31∙61∙97∙523
66 83925549247 3∙11∙67∙613∙4423
68 100343116693 2∙3^2∙7∙13∙17∙19^2∙23∙31
72 141276239497 2^2∙3^2∙73∙751∙5113
73 153436090543 3∙37∙73∙751∙1801
80 265462278481 2^3∙3^5∙5∙7∙43∙6481
87 438668366137 2^2∙3∙11∙13∙19∙29∙31∙1069
89 502628805631 3^3∙5∙89∙373∙8011
93 654022685443 3∙31∙43∙47∙199∙1249
95 742912017121 2^4∙3^2∙5∙13∙19∙229∙1303
115 2333350772341 2∙3∙5∙23∙29∙1873∙4447
122 3324554405047 3^2∙19∙37∙41∙43∙61∙349
126 4033516174507 3^2∙13∙19∙127∙829∙1231

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p.

Sledujte[editovat]