Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 7

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 7: 1111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 7n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 7.
3. Kromě sedmičky, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 7) vyhovují vzorci 14n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5 a n = 6; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně šest (protože 7 - 1 = 6) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 7.
6. V šesti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 14 (11111111111111).
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 7)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/14 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/14)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p 1111111_(z) (R = 7)
p	127	1093	19531	55987	5229043	8108731	25646167	321272407	917087137	3092313043	4201025641	9684836827	31401724537	47446779661
z	2	3	5	6	13	14	17	26	31	38	40	46	56	60
f k/14	3^2	2∙3∙13	3^2∙5∙31	3∙31∙43	3∙13∙61∙157	3^2∙5∙ ∙61∙211	3^3∙13∙ ∙17∙307	3^4∙13∙ ∙19∙31∙37	2^4∙3∙7∙ ∙19∙31∙331	3^2∙13∙19∙ ∙67∙1483	2^2∙3∙5∙ ∙41∙223∙547	3∙19∙23∙ ∙47∙103∙109	2^2∙3^2∙13∙ ∙19∙31∙79∙103	2∙3∙5∙61∙ ∙523∙3541
l.p.(10)	42	273	6510	9331	2614521	8108730	25646166	?	?	?	?	?	?	?

Pokračování tabulky (R = 7)
z	p	f k/14
61	52379047267	3∙13∙31∙61∙97∙523
66	83925549247	3∙11∙67∙613∙4423
68	100343116693	2∙3^2∙7∙13∙17∙19^2∙23∙31
72	141276239497	2^2∙3^2∙73∙751∙5113
73	153436090543	3∙37∙73∙751∙1801
80	265462278481	2^3∙3^5∙5∙7∙43∙6481
87	438668366137	2^2∙3∙11∙13∙19∙29∙31∙1069
89	502628805631	3^3∙5∙89∙373∙8011
93	654022685443	3∙31∙43∙47∙199∙1249
95	742912017121	2^4∙3^2∙5∙13∙19∙229∙1303
115	2333350772341	2∙3∙5∙23∙29∙1873∙4447
122	3324554405047	3^2∙19∙37∙41∙43∙61∙349
126	4033516174507	3^2∙13∙19∙127∙829∙1231

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p.

Sledujte