Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 31

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 31: 1111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 31n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 31.
3. Kromě prvočísla 31, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 31) vyhovují vzorci 62n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 30; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně třicet (protože 31 - 1 = 30) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 31.
6. Ve třiceti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 62 (111...111)₆₂.
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 31)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/62 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/62)
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
1111111111111111111111111111111_(z) (R = 31)
z	p	f k/62
2	2147483647	3^2∙7∙11∙151∙331
14	26063080998214179685167270877966651	3^2∙5^2∙7∙11∙61∙71∙101∙211∙811∙2851∙3761∙15511∙1948981
19	243270318891483838103593381595151809701	2∙3∙5^2∙7^3∙11∙19∙61∙127∙151∙211∙271∙911∙2251∙1081291∙2460181
31	568972471024107865287021434301977158534824481	2^4∙3∙5∙7^2∙11∙19∙41∙331∙2521∙17351∙21821∙327412201∙880374069121
44	20585646725737777436116973149348140195500598968701	2∙3^3∙5^2∙7∙11∙283∙421∙631∙1741∙391801∙413521∙1120771∙3835261∙35041021
53	5451909197716512648567801549394409749475252856973123	3^4∙7∙11∙53∙131∙409∙919∙2011∙3851∙5581∙5791∙353351281∙61085389

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte