Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 41

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 41: 11111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 41n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 41.
3. Kromě prvočísla 41, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 41) vyhovují vzorci 82n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 40; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně čtyřicet (protože 41 - 1 = 40) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 41.
6. Ve čtyřiceti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 82 (111...111)₈₂.
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 41)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/82 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/82)
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
11111111111111111111111111111111111111111_(z) (R = 41)
z	p	f k/82
14	7538867501749984216983927242653776257689563451	3∙5^2∙7∙11∙71∙101∙197∙937∙1061∙3761∙ ∙61001∙698521∙1383881∙51111761
53	953470608251114628059528312260750980775135610852327164630237682734201	2^2∙3^3∙5^2∙11∙17∙53∙61∙131∙281∙2011∙3851∙5581∙232073∙ ∙45110321∙204057488321∙2095820501519891401
55	4192533190739557589316560117434014038636743222283527117084573816370081	2^4∙5∙7∙11∙17∙89∙211∙29741∙44171∙111593∙8987221∙ ∙2814507461∙4485234541681∙1563211806048721
58	35048777985489339918082908475322279372162192908009414029627686016258551	5^2∙11∙29∙31∙59∙61∙131^2∙673∙2393∙4729∙41941∙358861∙ ∙610500581∙400003693899756583014833801
71	113892272217800388917563305886676849934477281231425494342533202719055481441	2^4∙3^2∙5∙11∙71∙211∙661∙1301∙2221∙2521∙3881∙16661∙45061∙ ∙56401∙75721∙12705841∙25058741∙613624820402521

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte