Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 78

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 78: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 78: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem součinem 111111111111111111111111111111111111111 * 1000000000000000000000000000000000000001. . Obě tato čísla jsou v každé soustavě dělitelná dále: první viz U₃₉, druhé je dělitelné číslem 11_(z). Tento podíl je vždy ještě dělitelný čísly g1_(z) (jehož l = 6) a g0g0g0g0g0g1_(z) (jehož l = 26); a výsledek je vždy (včetně dvojkové soustavy, kde má tvar 1010101010100101010101011₍₂₎) ve tvaru 10gbg010gbg00gbg010gbg011, kde g = z - 1 a b = z - 2. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 78.
V číselných soustavách, ve kterých 1/13₍₁₀₎ má délku periody l.p. = 6, je číslo 10gbg010gbg00gbg010gbg011_(z) vždy dělitelné ještě třinácti a podíl má jiný tvar.
- Délky p.h. 1/13₍₁₀₎ l.p. = 6 jsou v soustavách 4 a 10 a ve všech dalších, kde z vyhovuje vzorci z = 13n + a, kde a je rovno 4 nebo 10.
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 13) délku p.h. = l (v našem případě 6), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 6 * 13 = 78).
Stejnou délku p.h. (t.j. 78) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(3*(2n+1)) (exponent, dělitelný 3), kde je l.p. = 26 a všech z^(13*(2n+1)) (exponent, dělitelný 13), kde je l.p. = 6. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě třicet šest z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je 39.
Zdaleka ne každé číslo 10gbg010gbg00gbg010gbg011_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 78n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 78.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₇₈)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₇₈ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 78
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/78 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/78)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 10gbg010gbg00gbg010gbg011_(z) nebo jejich třináctin* (U₇₈)
p	22366891	5302306226370307681801	584288727345658049575114801	84159375948762099254554456081	1412364383703504438982118048251	521520871366765737606690427202726006881
z	2	8	13	16	18	41
f k/78	3∙5∙7∙ ∙2731	2^2∙3^2∙5^2∙7∙37∙73∙109∙ ∙36650387593	2^2∙3∙5^2∙7∙17∙61∙373∙28393∙ ∙162399520961	2^3∙3∙5∙7∙17∙97∙257∙421∙673∙859∙ ∙90841∙137089	3∙5^3∙7^4∙17∙19∙229∙457∙ ∙594941853304891	2^4∙3^2∙5∙7∙29^2∙41∙109∙1723∙1993∙2459∙ ∙2479027∙16861951753

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U78)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₇₈)