Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 79

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 79: 111...111₇₉. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 79n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 79.
3. Kromě prvočísla 79, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 79) vyhovují vzorci 158n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 78; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně sedmdesát osm (protože 79 - 1 = 78) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 78.
6. V sedmdesáti osmi soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 158 (111...111)₁₅₈.
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 79)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) (R = 79)
z	p
22	536009503964613991286957683005287140685493324523698332668846831791767500295593367113600925667991227216067
112	6964674308300788524924872391015427470444238250902643497823070381976192471985873002537925694565338541049- -631694356186668397671315437299893407787459685491128312177
140	251825681731002531605305840034149435637612426580021294393500204370203520101632493799822991654676258992805- -755395683453237410071942446043165467625899280575539568345323741

f k/158 (R79, z=22):

3∙11∙13^3∙23∙463∙2003∙1283881∙1421317∙21821513533∙85107437663∙6165936796469347∙12296089473177511∙
∙8537828742536325458236531

f k/158 (R79, z=112):

2^3∙3∙7∙53∙113∙131∙859∙1327∙1873∙4219∙4421x12433∙369487∙640901∙1210717∙14855803∙164474753∙284675327∙
∙312153271∙8643755173∙157203225466249∙7402662186299797∙20511133498938031∙52591268833345741224259

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte