Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 73
Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.
Drobečky teorie
[editovat]- V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 73: 111...11173. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
- Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
- Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=ab). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R2 (11) je 5 a osmičková soustava, kde R3 (111) je 73.
- V soustavách o základu 73n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 73.
- Kromě prvočísla 73, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 73) vyhovují vzorci 146n + 1 (p).
- V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci za + npb.
- V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za je (nezbytně) také v soustavě zb, vyhovující vzorci za n mod pb pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 72; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně sedmdesát dva (protože 73 - 1 = 72) číselných soustav o zx, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 72.
- V sedmdesáti dvou soustavách zy, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 146 (111...111)146.
- Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.
Tabulka nejmenších repunitových p (R = 73)
[editovat]legenda:
- p - prvočíslo
- R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
- z - základ číselné soustavy
- f - w:faktor
- k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
- ∙ - znak násobení
- ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
| z | p |
|---|---|
| 11 | 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953 |
| 15 | 5111329463430071646630167819950683399621676569261698373582346123709742512021745954241 |
| 75 | 1023859838465486686363016033998704522272171328793086532353874352382193497640442165979330173110543821617750919555161286749549814172693201 |
| 114 | 126175694561072077003742076629390263252211257780155072857461788596756148244090467069631460008741357252673023146572- -23135560453118245605802096174841711 |
f k/146 (R73, z=11):
2^3∙3^3∙7∙11∙13∙19∙37∙61∙1117∙7321∙10657∙20113x40177∙590077∙1772893∙3138426605161∙3358335487319458201
f k/146 (R73, z=15):
2^5∙3∙5∙13∙17∙19∙37∙113∙211∙241∙541∙739∙811∙1489∙3877∙21061∙24481∙964764793∙2562840001∙3506657472973x9763752384289
f k/146 (R73, z=75):
2^3∙3∙5^2∙7∙13∙19∙29∙61∙97∙109∙127∙433∙1153∙2953∙3313∙4657∙5701∙6793∙13721∙423001∙9740737∙22367593∙1001129118750001∙
∙10726837800169451617∙237897899506747087297741425226517281
Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".