Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 55

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 55: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 55: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111111 * 100000000001000000000010000000000100000000001 a zároveň také součinem 11111 * 100001000010000100001000010000100001000010000100001. Podíl 100000000001000000000010000000000100000000001/11111 je roven podílu 100001000010000100001000010000100001000010000100001/11111111111 a je vždy ve tvaru g0000g0000gg000gg000ggg00ggg00gggg0gggg1_(z), kde g = z - 1. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l) = 55.
V číselných soustavách, ve kterých 1/11₍₁₀₎ má délku periody l.p. = 5, je číslo g0000g0000gg000gg000ggg00ggg00gggg0gggg1_(z) vždy dělitelné ještě jedenácti a podíl má jiný tvar.
- Délky p.h. 1/11₍₁₀₎ l.p. = 5 jsou v soustavách 3, 4, 5 a 9 a ve všech dalších, kde z vyhovuje vzorci z = 11n + a, kde a je rovno 3 nebo 4 nebo 5 nebo 9.
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 11) délku p.h. = l (v našem případě 5), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 5 * 11 = 55).
Stejnou délku p.h. (t.j. 55) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani jedenácti, ani pěti, natož padesáti pěti. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě 40 z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 110.
Zdaleka ne každé číslo g0000g0000gg000gg000ggg00ggg00gggg0gggg1_(z) (případně ve výše uvedených případech jeho jedenáctina) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 110n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 55.
V desítkové soustavě všechna tato unikátní prvočísla (i v předchozím bodě zmíněné faktory) končí jedničkou.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₅₅)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₅₅ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 55
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/110 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/110)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p g0000g0000gg000gg000ggg00ggg00gggg0gggg1_(z) nebo jeich jedenáctin* (U₅₅)
p	5457586804596062091175455674392801	590942011471566261212035041517359275008998041*	4278615650980746183804109195019567205662649328269728501851759201
z	7	14*	39
f k/110	2^4∙3∙5∙7∙191∙521∙1021∙1137811∙ ∙255465186133321	2^2∙53∙1409∙3761∙147353∙ ∙32452115372018811816221581001*	2^4∙3∙5∙13∙19∙281∙761∙1181∙41011∙516520547∙ ∙3830558051∙36608816989∙874632913600063

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U55)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₅₅)