Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 71

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 71: 111...111₇₁. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 71n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 71.
3. Kromě prvočísla 71, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 71) vyhovují vzorci 142n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 70; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně sedmdesát (protože 71 - 1 = 70) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 70.
6. V sedmdesáti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 142 (111...111)₁₄₂.
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 71)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) (R = 71)
z	p	f k/142
3	3754733257489862401973357979128773	2∙3∙11^2∙61∙547∙1093∙2664097031∙374857981681
6	3546245297457217493590449191748546458005595187661976371	3∙5∙7^2∙11∙29∙101∙197∙311∙631∙701∙2311∙9241∙ ∙55987∙585131∙37863211x1469029031
17	143798195172461138521036839345269251740737334259640879028155379795667047030720519999127	3^2∙11∙17∙101∙701∙88741∙966211∙21998621∙22796593∙ ∙25646167∙15030659834591591∙512718953215732865581052501

Pokračování tabulky (R = 71)
z	p
24	4298038738591350241903359894361937263902417766066948735111854394786520954312466554848504069671001
37	61097003103184669235517359417485905028897850322027200141703138362247062800773927423870139498763891657761796267
89	2898730229797885323209957465243741561302097290597015303016695788234945620176187627061787205329043124058859972- -8184946817952685377877484351
132	27763730491415947420276063760504473373134386840348017729724840245049577125023881234320520775191465481034520- -292919104838129785375911573334262342463957

f k/142 (R71, z=24): 2^2∙3∙5^3∙11∙29∙239∙5791∙28771∙346201∙183458857∙1892603411161∙9511926434738061671∙1389307926104143220565076487602201

f k/142 (R71, z=37): 11∙19∙37∙41∙4271∙641761∙1824841∙37140797∙2431478911∙2498207293∙27020808033199902818191∙44506479634069870581598388889425710801

f k/142 (R71, z=89): 3^2∙5^2∙31∙89∙131∙211∙691∙701∙3221∙329617∙400291∙1491001∙3139991∙502628805631∙83999238361920629083112156644098941∙
∙292368249098271826360563771388968911082878011

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte