Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 81

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 81: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 81: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111111111111111111111111111 * 1000000000000000000000000001000000000000000000000000001_(z). Ne v každé soustavě je 1000000000000000000000000001000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, tak jak tomu není například ve dvojkové soustavě. Co se týče repunitu o délce U = 27, sledujte v článku Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 27. Všimněte si, že 1000000000000000000000000001000000000000000000000000001_(z) je repunitem o délce R = 3 v soustavě z²⁷: 111_(z^27) .
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
V soustavách z = 3n + 1 je číslo 1000000000000000000000000001000000000000000000000000001_(z) dělitelné 3. Tento podíl je potom ve tvaru cccccccccccccccccccccccccccdddddddddddddddddddddddddde, kde c = (z - 1)/3; d = 2c a e = d + 1. Například ve čtyřkové soustavě je to 111111111111111111111111111222222222222222222222222223₍₄₎ = 108172851219475581599184843352747₍₁₀₎. Toto číslo však není prvočíslo, je to součin 163₍₁₀₎*2593₍₁₀₎*71119₍₁₀₎*135433₍₁₀₎*97685839₍₁₀₎*272010961₍₁₀₎.
Prvočísla o délce p.h. l = 81 vždy vyhovují vzorci 54n + 1.
Prvočísla p o délce p.h. l = 81 v soustavě z mají v soustavě p - z délku p.h. l = 162.
U každého prvočísla, vyhovujícího vzorci 162n + 1 je vždy právě 18 z < p, kde délka p.h. l = 81 a dalších právě 54 z < p, kde délka p.h. l = 162.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₈₁)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₈₁ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 81
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/162 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/162)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 1000000000000000000000000001000000000000000000000000001_(z) nebo jejich třetin* (U₈₁)
z	p₍₁₀₎	f k/162
21	251097226443098886970664441840231990201201851332912023687544574398706423	3^23∙7^27∙11∙19∙37∙199∙421∙613∙5077∙17497∙ ∙7101932659132249
28*	467102764647624870534174882972667122829050205740085854715337092963516619074219*	3^2∙19^2∙271∙283∙541∙11953∙192883∙ ∙444979∙1159422961∙260805287431668587∙ ∙68948693997660959163751
50	55511151231257827021181583404541015625000000007450580596923828125000000000000000000000000001	2^26∙5^54∙17∙19∙43∙10369∙20899∙28603∙ ∙182089∙611038027∙9603028198891

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U81)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₈₁)