Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 75

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 75: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 75: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111111111111111111111_(z) * 100000000000000000000000010000000000000000000000001_(z), které je dále dělitelné čísly 111_(z) * g00g0gg1, kde g = z - 1 (bez ohledu na to, zda tyto faktory jsou/nejsou prvočísla). Tento podíl je vždy ve tvaru ggggg0000000000ggggg00000gggggggggg00001, kde opět g = z - 1. Ne v každé soustavě je ggggg0000000000ggggg00000gggggggggg00001_(z) prvočíslo, tak jako tomu například není ani v desítkové soustavě (9999900000000009999900000999999999900001 = 151 * 4201 * 15763985553739191709164170940063151). Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 150n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 75.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo ggggg0000000000ggggg00000gggggggggg00001_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 75, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Stejnou délku p.h. (t.j. 75) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani třemi, ani pěti, natož patnácti či sedmdesáti pěti. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě čtyřicet z menších, než p.
Pro odpovídající (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 150.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₇₅)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₇₅ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 75
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/150 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/150)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p *ggggg*0000000000ggggg00000gggggggggg00001_(z) (U₇₅)
p	68246512799090303814407777988175171187104276683148402420058184023002801	341125672308054975513264344265997734382820306014083049561375709729157146401
z	59	73
f k/150	2^3∙11∙29∙41∙59^5∙151∙181∙449∙1741∙2383081∙8117401∙18083161∙45708259∙ ∙17804884199639689	2^4∙3∙11∙13∙37∙41∙73^5∙131∙2281∙19441∙84179∙28792661∙70697833061∙ ∙105837394369187982079571

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U75)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₇₅)