Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 156

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 156: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 156: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě číslem 100000000000000000000000001_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gggggggggggggggggggggggggg00000000000000000000000001_(z), kde g = 10_(z) - 1. I toto číslo je v každé soustavě dělitelné ještě dále číslem gg01_(z) a tento podíl je vždy ve tvaru 100gggbgg000100gggbgg0000gggbgg000100gggbgg000101_(z), kde g = 10_(z) - 1 a b = 10_(z) - 2. Zdaleka ne v každé soustavě je 100gggbgg000100gggbgg0000gggbgg000100gggbgg000101_(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě (1009998990001009998990000999899000100999899000101 = 3121 * 53397071018461 * 6060517860310398033985611921721). Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 156n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 156.
Číslo 100gggbgg000100gggbgg0000gggbgg000100gggbgg000101_(z) můžeme získat také takto: ((z²⁶ * (z²⁶ - 1)) + 1)/((z² * (z² - 1)) + 1).
Pokud je toto číslo prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 156.
V číselných soustavách, ve kterých 1/13₍₁₀₎ má délku periody l.p. = 12, je číslo 100gggbgg000100gggbgg0000gggbgg000100gggbgg000101_(z) vždy dělitelné ještě třinácti a podíl má jiný tvar.
- Délky p.h. 1/13₍₁₀₎ l.p. = 12 jsou v soustavách 2, 6, 7 a 11 a ve všech dalších, kde z vyhovuje vzorci z = 13n + a, kde a je rovno 2 nebo 6 nebo 7 nebo 11.
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 13) délku p.h. = l (v našem případě 12), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 12 * 13 = 156).
Stejnou délku p.h. (t.j. 156) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani dvěma, ani třemi, ani třinácti, natož násobkem některých/všech z těchto čísel. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě 48 z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 156. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 156n + 1, existují právě dvacet čtyři páry z, kde vzájemný součet z v páru je roven p.
Prvočísla o délce p.h. l = 156 vždy vyhovují vzorci 156n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₅₆)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₅₆ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 156
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/156 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/156)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 100gggbgg000100gggbgg0000gggbgg000100gggbgg000101_(z) nebo jejich třináctin* (U₁₅₆)
z	p₍₁₀₎
	f k/156
4	84159375948762099254554456081
	2^2∙3∙5∙7∙17∙97∙257∙421∙673∙859∙90841∙137089
19*	1851104143022640252441707536192070544479172296536580102724517*
	13^2∙769∙10502759∙1064726703451∙8164914918395348551924334861412739
28*	223973040275351425605924258724941512719278605840074110596359524399637*
	19∙191∙467∙47221∙47477194997993∙506136893265108779∙746584674625188741181691
127	96073924480288806704993450765613909622804910351872480057947585198876518757428269985030673416894346241
	2^8∙3^2∙5∙7∙17∙127^2∙137∙1231∙1613∙5419∙18481∙55849∙4900321∙29993413∙13810367521∙153418116877∙ ∙58785300482773021292111275931857
190	23998543014926060493736804743174116167763616973005796277644529383702100640388654040225800264779857650019036101
	3^3∙5^2∙7∙11∙19^2∙89∙97∙191∙1753∙2777∙6217∙8353∙12097∙35911∙96697∙117989∙29124817∙ ∙136257187155109659775339811748975135586599367121280181

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U156)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₅₆)