Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 83

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 83: 111...111₈₃. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5, osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73 a sedmadvacítková soustava, kde opět R₃ (111) je 757.
2. V soustavách o základu 83n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 83.
3. Kromě prvočísla 83, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 83) vyhovují vzorci 166n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 82; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně osmdesát dva (protože 83 - 1 = 82) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 82.
6. V osmdesáti dvou soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 166 (111...111)₁₆₆.
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 83)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) (R = 83)
z	p
41	1815516149411504925816848838815851358994487656027133573770941622975018443816715265278378295348087618707241356050904372886003491785803
146	30193887173498870874506649968701165049742841356179907657336824153940758422767364821050963189199008078106713960- -16147230392648817663413748979415287761462100196682154317705606086543

f k/166 (R79, z=41):

3∙7∙41∙18041∙1752341∙20396681∙20567159x1876859311090803007∙5926187589691497537793497756719∙
∙86113001092268374480278191141726032792032074455581281

f k/166 (R79, z=146):

3∙7^2∙73∙2653193x67833599∙137110423362527892691∙15096128294596584720023641162388507707033642929715823∙
∙4550100535007434022727872204440530841073911200691550713516629617599892304179956206677

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte

Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 79
následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 89