Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 69

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 69: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 69: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) dělitelné čísly 11111111111111111111111_(z) a 111_(z) (bez ohledu na to, zda tito činitelé jsou či nejsou prvočísly). Tento podíl je vždy ve tvaru g00g00g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1, kde g = 10_(z) - 1. Ne v každé soustavě je g00g00g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) prvočíslo, tak jako tomu není například v desítkové soustavě. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 138n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 69.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo g00g00g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 69, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Stejnou délku p.h. (t.j. 69) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani třemi, ani dvaceti třemi, natož devětašedesáti. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě čtyřicet čtyři z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 138.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₆₉)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₆₉ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 69
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/138 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/138)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p g00g00g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) (U₆₉)
p	10052678938039	111284674149221479321933039375712865638979268198676574953779	174509342263274926909302971286445250233741884626422526380895551
z	2	22	26
f k/138	11∙89∙683∙108943	7∙11∙13^2∙19^2∙67∙89∙239∙353∙3019∙28439∙1176469537∙ ∙285451051007∙11834351321383	3^2∙5^2∙13∙65539∙97395563∙135938684703251∙ ∙498232069675960988992220923301

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p g00g00g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) (U₆₉)
p	728447643471989159907548831975477147832928348135611183780675715515588649	1593974829089430137787811788993962196512570139542399707965574111237804359432949269799
z	43	82
f k/138	2^2∙7∙11^2∙43∙67∙359063∙3470039∙6038099∙3664405207∙193950106729∙ ∙101142536632341383605483	3^3∙41∙67∙83∙727∙2704043∙3163051∙2854687177∙33467334457∙ ∙18678408660030109∙169093976297507335402343

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U69)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₆₉)