Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 68

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 68: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 68: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111111111111111111111111111111 * 10000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 10000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě číslem 101_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01 (viz Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 34 a Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 4). Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 68.
V číselných soustavách, ve kterých jedna sedmnáctina má délku periody l.p. = 4, je číslo gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01 navíc dělitelné 17₍₁₀₎ (sedmnácti).
- Délky p.h. 1/17₍₁₀₎ l.p. = 4 jsou v soustavách 4, 13 a ve všech dalších, pro které platí z = 17n + 4 nebo z = 17n + 13
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 17) délku p.h. = l (v našem případě 4), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 4 * 17 = 68).
- Tvar výrazu gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z)/17₍₁₀₎) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
Stejnou délku p.h. (t.j. 68) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(17*(2n+1)) (exponent, dělitelný 17), kde je l.p. = 4. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě třicet dva z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 68. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 68n + 1, existuje právě šestnáct párů z, jejichž vzájemný součet (v páru) je roven p.
Zdaleka ne každé číslo gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 68n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 68.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₆₈)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₆₈ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 68
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/68 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/68)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z) nebo jejich sedmnáctin* (U₆₈)
p	18901051905219282070588792254842207435298221168846321*	55124608368773596464979240379726051143683839708962600184318401	167258975002404155026984166539884870695549591718924214604853697
z	47*	85	88
f k/68	2^2∙5∙11^2∙13∙132003074897∙ ∙66932076062509043169872368955759927	2^4∙3∙5^2∙7∙17∙41∙43∙97∙337∙881∙1889∙15943136609∙ ∙1115401577366753∙3328446352539521	2^4∙3∙11^2∙29∙89∙64609∙11102081∙19054961∙ ∙59969537∙16443116353∙12174345015092321

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U68)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₆₈)