Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 72

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 72: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 72: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1000000000000000000000001000000000000000000000001_(z) * 111111111111111111111111_(z). (To je dále součinem 111111111111_(z) * 1000000000001_(z), viz Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 24). V každě soustavě je i číslo 1000000000000000000000001000000000000000000000001_(z) dále dělitelné číslem 1000000000001000000000001_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gggggggggggg000000000001, kde g = 10_(z) - 1. Ne v každé soustavě je gggggggggggg000000000001_(z) prvočíslo, tak jako tomu například není ani v desítkové soustavě (999999999999000000000001 = 3169 * 98641 * 3199044596370769).
Číslo gggggggggggg000000000001_(z) můžeme získat také takto: (z¹² * (z¹² -1)) + 1.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo gggggggggggg000000000001_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 72, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem. Obecná značka: gggggggggggg000000000001.
Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
Prvočísla o délce p.h. l = 72 vždy vyhovují vzorci 72n + 1.
- Poznámka: unikátní prvočísla o délce p.h. = 6 jsou ve tvaru g1; unikátní prvočísla o délce p.h. = 12 jsou ve tvaru gg01; unikátní prvočísla o délce p.h. = 18 jsou ve tvaru ggg001 atd. pro U = 6n. S rostoucí délkou U frekvence výskytu silně klesá, u mnohých z zcela zaniká. U lichých n navíc přistupuje možnost dělitelnosti třemi, čímž dostáváme U v jiném tvaru (případně součin faktorů, jejichž délka p.h. = 6n).

Tabulka nejmenších unikátních p (U₇₂)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₇₂ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 72
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/72 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/72)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)
p_(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z

Tabulka nejmenších unikátních prvočísel *gggggggggggg*000000000001_(z) (U₇₂)
p	282429005041	1338258845052393545608356556801	22452257707354557235348829785471057921	1596772093453535767249039358763099536401
z	3	18	36	43
f k/72	2∙3^10∙5∙7∙13∙73	2^9∙3^22∙5^2∙7^3∙13∙17∙19∙229∙307∙457	2^21∙3^22∙5∙7∙13∙31∙37∙43∙97∙1297∙1678321	2∙5^2∙7∙11∙13∙37∙43^12∙139∙631∙3416953

Pokračování tabulky nejmenších unikátních prvočísel *gggggggggggg*000000000001_(z) (U₇₂)
p	95870330898477161150559810001723544775601	1887023914800623499934578560387700778103974321	61004259453331056987939428488039894819864693921
z	51	77	89
f k/72	2∙3^10∙5^2∙7∙13∙17^12∙37∙379∙1301∙2551∙182773	2∙5∙7^12∙11^12∙13∙19∙593∙829∙1951∙6007∙42397	2^2∙3∙5∙7∙11∙13^2∙17∙89^12∙229∙233∙373∙1621∙8011

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U72)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₇₂)