Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 67

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 67: 111...111₆₇. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 67n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 67.
3. Kromě prvočísla 67, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 67) vyhovují vzorci 134n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 66; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně šedesát šest (protože 67 - 1 = 66) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 66.
6. V šedesáti šesti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 134 (111...111)₁₃₄.
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 67)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) (R = 67)
z	p
46	56436777630861204610228497995848224493886299348863214641450495790307809339190661333386939668397177299125252187
122	5050371027331763997843848302261554930373325847212076404264400807012699613158727604401201843632729841524781030842226- -77774246699920739374647
238	717641882529678370158534457573062119267769792659145763524097752009428626541986892645829699068772358387316267015950002- -8328908171390175321846565294870857884443

f k/134 (R67, z=46): 3∙7∙19∙23∙47∙103∙109∙727∙859∙991∙1409∙3169∙15313∙181787∙232871∙399719∙104811719∙2632991659∙214775822252311∙
∙2049380566898311406431990637089

f k/134 (R67, z=122): 3^2∙7∙11∙19∙23∙37∙41∙43∙61∙349∙353∙463∙661∙1013∙1453∙1783∙6073∙28183∙734537∙1530343∙37559479∙83612497∙176750971∙
∙1322178199∙2197732219∙43189865863∙2358407322364869323270225984317

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte