Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 70

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 70: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 70: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem (viz U35) 11111111111111111111111111111111111 * 100000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 100000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné čísly 100001_(z) nebo (oběma, nikoliv však oběma současně; tedy jejich nejmenším společným násobkem) 10000001_(z) (bez ohledu na to, zda tato čísla jsou/nejsou prvočísla). Tento podíl je vždy ve tvaru 10gggbbbg011110gbbbg00011_(z), kde g = z - 1 a b = z - 2.
Pokud je tento výsledek prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 70.
Stejnou délku p.h. (t.j. 70) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(5*(2n+1)) (exponent, dělitelný 5), kde je l.p. = 14 (nebo 2, pokud je exponent dělitelný i 35) a všech z^(7*(2n+1)) (exponent, dělitelný 7), kde je l.p. = 10 (nebo 2, pokud je exponent dělitelný i 35). Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto jsou právě dvacet čtyři z menší, než p.
Prvočísla o délce p.h. l = 70 vždy vyhovují vzorci 70n + 1.
Pro (kladné) základy p - z (z je z výše uvedených pro l = 70) platí, že jejich l.p. = 35₍₁₀₎.
zdaleka ne každé číslo 10gggbbbg011110gbbbg00011_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 70n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 70.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₇₀)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₇₀ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 70
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/70 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/70)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)
Poznámka: pokud se v tabulce vyskytuje "mocninová" číselná soustava z^n, znamená to, že v soustavě z bude unikátním totéž prvočíslo, a to pro délku p.h. l = 70n (U_70n) pro sudá n.

Tabulka nejmenších unikátních p 10gggbbbg011110gbbbg00011_(z) (U₇₀)
p	374857981681	86121235964912696227980301	84179842077657862011867889681	5156590470591163710974829741361	1389307926104143220565076487602201
z	3	12	16	19	24
f k/70	2^3∙3∙13∙ ∙17163827	2∙3∙5∙7∙11∙13∙19∙29∙59∙157∙ ∙8027006577311	2^3∙3^2∙13∙17∙241∙257∙6619∙ ∙184349833435309	2^3∙3^3∙7^3∙19∙127∙181∙287501∙662251∙ ∙11956907	2^2∙3∙5∙23∙79∙577∙601∙22034731∙ ∙23825183680829

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 10gggbbbg011110gbbbg00011_(z) (U₇₀)
p	44506479634069870581598388889425710801	60796737476271057751713964803890312500051	1407828242351628801709345280505949374900001
z	37	50	57
f k/70	2^3∙3^3∙5∙19∙31∙37∙43∙67∙137∙3863∙65563∙356243∙ ∙758561399	3^2∙5∙7∙17∙19∙41∙43∙61∙2551∙ ∙31115483396484375312502499	2^4∙3∙5^4∙13∙19∙29∙31∙103∙3307∙39293∙ ∙225573005329452075541

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U70)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₇₀)