Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 138

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 138: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 138: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě čísly 1001_(z) a číslem g0g0g0g0g0g0g0g0g0g0g1_(z), kde g = z - 1. Tento podíl je vždy ve tvaru 10gbg010gbg010gbg010gbg010gbg010gbg010gbg011_(z), kde g = z - 1 a b = z - 2.
Pokud je tento výsledek prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 138.
Stejnou délku p.h. (t.j. 138) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(3*(2n+1)) (exponent, dělitelný 3), kde je l.p. = 46 a všech z^(23*(2n+1)) (exponent, dělitelný 23), kde je l.p. = 6. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě šedesát šest z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je 69.
Zdaleka ne každé číslo 10gbg010gbg010gbg010gbg010gbg010gbg010gbg011_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 138n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 138.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₃₈)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₃₈ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 138
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/138 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/138)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 10gbg010gbg010gbg010gbg010gbg010gbg010gbg011_(z) (U₁₃₈)
z	p₍₁₀₎
	f k/138
8	6113142872404227834840443898241613032969
	2^2∙3∙7∙67∙89∙509∙683∙20857∙599479∙20345907364240363
9	1076050302914923449767311155851656076154481
	2^3∙3∙5∙11∙67∙661∙3851∙5501∙570461∙11037282838919677579
42	271132813601827720845199024199432350168617461918329876575971202460307059
	7∙11∙23^2∙41∙43∙67∙991∙2971∙5942675707∙20465173367∙1140396081970126145170821572988193
71	2893611874295033764654958461414874607781219038862575543259687471583838758945354641
	2^3∙3∙5∙7∙71∙419∙5479∙1398279582151∙143554218709131407∙762953829814288853997465186278860310711
76	57739657567429939932899532141856025036278320250432116034029055798239184391731317901
	2∙5^2∙7∙11^2∙19∙31∙67∙13399∙760935629∙1871827750783∙97232947036385183∙ ∙134912431088731283468891568149
78	181006467080374101590194658384393787098930482754342642380589099148410627510227563079
	7∙11^2∙13∙79∙89∙199∙3389∙5099∙21011∙3848527∙97441697∙151392697∙ ∙1968401734883∙2098247543298677630206541
120	30731141976126354149267549633681373859204010038735209458252578691890482963377914711854912121
	2^2∙5∙7∙11^3∙17∙67∙331∙34693∙208099∙263209∙34438801∙906288846763∙2457249000461∙ ∙600416172085501∙36225385210360831

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U138)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₃₈)