Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 51

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 51: 111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 51: 111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 10000000000000000100000000000000001_(z) * 11111111111111111_(z). V každě soustavě je i číslo 10000000000000000100000000000000001_(z) dále dělitelné číslem 111_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg1. , kde g = 10_(z) - 1. Ne v každé soustavě je g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) prvočíslo, tak jako tomu není například v desítkové soustavě. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 102n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 51.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 51, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Stejnou délku p.h. (t.j. 51) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani třemi, ani sedmnácti, natož jednapadesáti (n tedy může být 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47, 49 a 50). Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě třicet dva z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 102.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₅₁)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₅₁ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 51
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/102 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/102)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p g00g00g00g00g00g0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) (U₅₁)
p	179131919437879366272824933312584640171858216971	799454471293922458285692372004574081381712348812161	8580601263245947554602823713153422912208321765050351
z	30	39	42
f k/102	5∙7∙11∙29∙31∙53∙241∙337∙401∙467∙ ∙3361∙571261∙4855073∙675257579599	2^6∙5∙13∙19∙761∙3457∙32377∙1156721∙21943697∙ ∙45534289∙1007277222191	5^2∙7∙13^4∙17∙41∙43∙113∙353∙183041∙ ∙85687185809∙897609518388871681

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U51)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₅₁)