Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 57

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 57: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 57: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) dělitelné čísly 1111111111111111111_(z) a 111_(z) (bez ohledu na to, zda tito činitelé jsou či nejsou prvočísly). Tento podíl je vždy ve tvaru g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg1, kde g = 10_(z) - 1. Ne v každé soustavě je g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) prvočíslo, tak jako tomu není například v desítkové soustavě. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 114n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 57.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 57, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Navíc v číselných soustavách, ve kterých má prvočíslo 19₍₁₀₎ délku periody p.h. v té soustavě = 3, je číslo g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) ještě dělitelné devatenácti a výsledek již v jiném tvaru je nebo není (unikátním) prvočíslem.
Stejnou délku p.h. (t.j. 57) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani třemi, ani devatenácti, natož sedmapadesáti. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě třicet šest z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 114.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₅₇)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₅₇ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 57
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/114 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/114)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg1_(z) nebo jejich devatenáctin* (U₅₇)
p	11735415506748076408140121	26700222628437362021867388130147759702970962680577317144559	16871038776784283812184665614498537798844656713770203506899*
z	5	42	45*
f k/114	2^2∙3^2∙5∙7∙829∙1489∙5167∙ ∙50993∙251203	7∙41∙43∙79∙1723∙288900307∙5488957657∙8920474397∙9856471606972	3∙67∙109∙229∙347∙110819∙1077481373∙2298423832048397∙ ∙309738610485285889*

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U57)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₅₇)