Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 57

Z Wikiverzity
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie[editovat]

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 57: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 57: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111(z) jsou vždy (v každé soustavě) dělitelné čísly 1111111111111111111(z) a 111(z) (bez ohledu na to, zda tito činitelé jsou či nejsou prvočísly). Tento podíl je vždy ve tvaru g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg1, kde g = 10(z) - 1. Ne v každé soustavě je g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg1(z) prvočíslo, tak jako tomu není například v desítkové soustavě. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 114n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 57.
  3. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  4. Pokud číslo g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg1(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 57, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
  5. Navíc v číselných soustavách, ve kterých má prvočíslo 19(10) délku periody p.h. v té soustavě = 3, je číslo g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg1(z) ještě dělitelné devatenácti a výsledek již v jiném tvaru je nebo není (unikátním) prvočíslem.
  6. Stejnou délku p.h. (t.j. 57) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z(n), kdy n (exponent) není dělitelné ani třemi, ani devatenácti, natož sedmapadesáti. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě třicet šest z menších, než p.
  7. Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 114.


Tabulka nejmenších unikátních p (U57)[editovat]

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U57 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 57
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/114 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/114)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p g00g00g00g00g00g00gg0gg0gg0gg0gg0gg1(z) nebo jejich devatenáctin* (U57)
p 11735415506748076408140121 26700222628437362021867388130147759702970962680577317144559 16871038776784283812184665614498537798844656713770203506899*
z 5 42 45*
f k/114 2^2∙3^2∙5∙7∙829∙1489∙5167∙
∙50993∙251203
7∙41∙43∙79∙1723∙288900307∙5488957657∙8920474397∙9856471606972 3∙67∙109∙229∙347∙110819∙1077481373∙2298423832048397∙
∙309738610485285889*

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte[editovat]

Repunity[editovat]