Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 61

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 61: 111...111₆₁. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
1. Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=a^b). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R₂ (11) je 5 a osmičková soustava, kde R₃ (111) je 73.
2. V soustavách o základu 61n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 61.
3. Kromě prvočísla 61, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 61) vyhovují vzorci 122n + 1 (p).
4. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci z_a + np_b.
5. V předchozím bodě uvedený faktor p_b který se vyskytl v soustavě z_a je (nezbytně) také v soustavě z_b, vyhovující vzorci z_a ⁿ mod p_b pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 60; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně šedesát (protože 61 - 1 = 60) číselných soustav o z_x, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 60.
6. V šedesáti soustavách z_y, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 122 (111...111)₁₂₂.
Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.

Tabulka nejmenších repunitových p (R = 61)

legenda:

p - prvočíslo
R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších repunitových p
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) (R = 61)
z	p	f k/122
2	2305843009213693951	3^2∙5^2∙7∙11∙13∙31∙41∙151∙331∙1321
19	56065687629692436349945381294682921858769274981456436532996640647681369599401	2^2∙3∙5^2∙7^3∙11∙13^2∙19∙31∙127∙151∙181∙211∙271∙769∙911∙2251∙ ∙1081291∙2460181∙171434401∙16936647121∙1687178375041
69	217413056830109525893225879971494401116211707207353652378688651- -472683845527821169829480608663693240736432822901	2∙3∙5^2∙7∙11∙13∙19^2∙23∙31∙101∙373∙571∙ ∙631^2∙1601∙2381∙4831∙60757∙447961∙2090951∙ ∙2292691∙4468661∙52078561∙ ∙16333985898991∙589435727083004120126281
88	47198016584830708628909173786406734566114422840530103002949659651- -0943367487295952103442941824530468373935096268264601	2^2∙3∙5^2∙7∙11∙13∙19∙31∙37∙71∙89∙373∙461∙ ∙1549∙5701∙13691∙26821∙65921∙131581∙1620589∙1913641∙ ∙3555482906449321∙3637207469722201∙ ∙482285123620026767120916301

Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".

Sledujte