Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 136

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 136: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 136: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 * 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě číslem 10001_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0001_(z), kde g = z - 1.
Pokud je tento výsledek prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 136.
V číselných soustavách, ve kterých jedna sedmnáctina má délku periody l.p. = 8, je číslo gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0001_(z) navíc dělitelné 17₍₁₀₎ (sedmnácti).
- Délky p.h. 1/17₍₁₀₎ l.p. = 8 jsou v soustavách 2, 8, 9, 15 a ve všech dalších, pro které platí z = 17n + 2, 17n + 8, 17n + 9 nebo z = 17n + 15
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 17) délku p.h. = l (v našem případě 8), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 8 * 17 = 136).
- Tvar výrazu gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0001_(z)/17₍₁₀₎) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
Stejnou délku p.h. (t.j. 136) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(17*(2n+1)) (exponent, dělitelný 17), kde je l.p. = 8. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě 64 z menších, než p.
Prvočísla o délce p.h. l = 136 vždy vyhovují vzorci 136n + 1.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 136. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 136n + 1, existuje právě 32 párů z, jejichž vzájemný součet je roven p.
Zdaleka ne každé číslo gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0001_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 136n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 136.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₃₆)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₃₆ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 136
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/270 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/270)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p *gggg*0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0000gggg0001_(z) (U₁₃₆)
z	p₍₁₀₎
	f k/136
56	7656559895153851157022961215491154830287825228352389291723250452548678707624314195873850862725402429998599106561
	2^9∙3∙5∙7^4∙11∙19∙3137∙3329∙4289∙12324161∙81227777∙112790017∙422229601∙272743988641∙568253622001∙ ∙478998073521217∙9204182701393835713
98	27445354175161745141916787536674297488659582768919105270812680123442360841482888148761039936580045135276039909449798489484231921
	2∙3^2∙5∙7^8∙11∙97∙113∙1249∙52673∙4172737∙6811553423393∙329312445402209924737∙11316018310881095568257∙ ∙462957133810171186514396214213974070817921
101	189046185131258676068954885722837900847809505264294613723849188048919631127553801263540033505259100480351967545875356810826723201
	2^4∙3∙5^2∙101^4∙353∙929∙2113∙5101∙1822529∙97562593∙5828076994769∙934070158539361∙ ∙1273395829559120706264641x2555000827550194822053570979368767297

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U136)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₃₆)