Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 52

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 52: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 52: 1111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111111111111111111111 * 100000000000000000000000001. V žádné soustavě není 100000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě číslem 101_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gg00gg00gg00gg00gg00gg01 (viz Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 26 a Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 4). Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 52.
V číselných soustavách, ve kterých jedna třináctina má délku periody l.p. = 4, je číslo gg00gg00gg00gg00gg00gg01 navíc dělitelné 13₍₁₀₎ (třinácti).
- Délky p.h. 1/13₍₁₀₎ l.p. = 4 jsou v soustavách 5, 8 a ve všech dalších, pro které platí z = 13n + 5 nebo z = 13n + 8
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 13) délku p.h. = l (v našem případě 4), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 4 * 13 = 52).
- Tvar výrazu gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z)/13₍₁₀₎) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
Stejnou délku p.h. (t.j. 52) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(13*(2n+1)) (exponent, dělitelný 13), kde je l.p. = 4. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě dvacet čtyři z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 52. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 52n + 1, existuje právě dvanáct párů z, jejichž vzájemný součet (v páru) je roven p.
Zdaleka ne každé číslo gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 52n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 52.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₅₂)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₅₂ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 52
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/52 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/52)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p gg00gg00gg00gg00gg00gg01_(z) nebo jejich třináctin* (U₅₂)
p	9768997162071483134919121	78919881726271091143763623681	43303625536659626131094696640928161553	14734010857513779457330529091394220959615777*
z	11	16	37	70*
f k/52	2^2∙3^2∙5∙7∙11^2∙19∙37∙1117∙ ∙7321∙10657∙20113	2^6∙3^2∙5∙7∙17∙97∙193∙241∙ ∙673∙65537∙22253377	2^2∙3^3∙7∙19∙31∙37^2∙43∙67∙89∙10529∙ ∙144061∙3512477579761	2^3∙3∙13∙29∙409∙224909807∙ ∙340434330359535371313128737

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U52)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₅₂)