Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 110

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány – ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 110: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 110: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součimem 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) * 10000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z). V žádné soustavě není 10000000000000000000000000000000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné čísly 100001_(z) a 100000000001_(z) nebo (oběma, nikoliv však oběma současně; tedy jejich nejmenším společným násobkem) (bez ohledu na to, zda tato čísla jsou/nejsou prvočísla). Tento podíl je vždy ve tvaru 10gggbg0000gbggg01001000gbggg00gggbg00011_(z), kde g = z - 1 a b = z - 2.
V číselných soustavách, ve kterých 1/11₍₁₀₎ má délku periody l.p. = 10, je číslo 10gggbg0000gbggg01001000gbggg00gggbg00011_(z) navíc dělitelné 11₍₁₀₎ (jedenácti).
- Délky p.h. 1/11₍₁₀₎ l.p. = 10 jsou v soustavách 2, 6, 7, 8 a ve všech dalších, pro které platí z = 11n + 2 nebo z = 11n + 6 nebo z = 11n + 7 nebo z = 11n + 8.
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 11) délku p.h. = l (v našem případě 10), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 10 * 11 = 110).
- Tvar výrazu 10gggbg0000gbggg01001000gbggg00gggbg00011_(z)/11₍₁₀₎) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
Pokud je tento výsledek prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 110.
Stejnou délku p.h. (t.j. 110) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(5*(2n+1)) (exponent, dělitelný 5), kde je l.p. = 22 (nebo 2, pokud je exponent dělitelný i 55) a všech z^(11*(2n+1)) (exponent, dělitelný 11), kde je l.p. = 10 (nebo 2, pokud je exponent dělitelný i 55). Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě čtyřicet z menších, než p.
Prvočísla o délce p.h. l = 110 vždy vyhovují vzorci 110n + 1.
Pro (kladné) základy p - z (z je z výše uvedených pro l = 110) platí, že jejich l.p. = 55₍₁₀₎.
zdaleka ne každé číslo 10gggbg0000gbggg01001000gbggg00gggbg00011_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 110n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 110.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₁₀)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₁₀ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 110
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/110 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/110)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)
p_(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z
* (hvězdičkou) jsou označeny čísla, číselné soustavy a další, kde číslo 10gggbg0000gbggg01001000gbggg00gggbg00011_(z) je dělitelné 11₍₁₀₎ (jedenácti)

Tabulka nejmenších unikátních prvočísel 10gggbg0000gbggg01001000gbggg00gggbg00011_(z) (U₁₁₀) nebo jejich jedenáctin*
p	10910444855403996246103496881	1589964573680716277298682310078923206992149252451*	11544868483876542417134734645670674427914239932800021
z	5	17*	20
f k/110	2^3∙3∙13∙71∙2003∙94169∙ ∙23738207557447	5∙37∙71∙101∙1733∙79609∙3380022297343∙ ∙23364850965971515127	2∙3∙7∙17∙19∙61∙149∙193∙251∙401∙6403973∙ ∙57736978081∙118508484365

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U110)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₁₁₀)