Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 42

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 42: 11111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 42: 11111111111111111111111111111111111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111111111111111111111 * 1000000000000000000001. Obě tato čísla jsou v každé soustavě dělitelná dále: první viz U₂₁, druhé je dělitelné číslem 11_(z). Tento podíl je vždy ještě dělitelný čísly g1_(z) (jehož l = 6) a g0g0g1_(z) (jehož l = 14); a výsledek je vždy ve tvaru 10gbg00gbg011, kde g = z - 1 a b = z - 2. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 42.
V číselných soustavách, ve kterých 1/7₍₁₀₎ má délku periody l.p. = 6, je číslo 10gbg00gbg011 navíc dělitelné 7₍₁₀₎ (sedmi).
- Délky p.h. 1/7₍₁₀₎ l.p. = 6 jsou v soustavách 3, 5 a ve všech dalších, pro které platí z = 7n + 3 nebo z = 7n + 5.
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 7) délku p.h. = l (v našem případě 6), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 6 * 7 = 42).
- Tvar výrazu 10gbg00gbg011_(z)/7₍₁₀₎) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
Stejnou délku p.h. (t.j. 42) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(3*(2n+1)) (exponent, dělitelný 3), kde je l.p. = 14 a všech z^(7*(2n+1)) (exponent, dělitelný 7), kde je l.p. = 6. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě dvanáct z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je 21.
Zdaleka ne každé číslo 10gbg00gbg011_(z) (nebo v příslušných soustavách jeho sedmina) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 42n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 42.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₄₂)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₄₂ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 42
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/42 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/42)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 10gbg00gbg011_(z) nebo jeho sedmin* (U₄₂)
p	5419	2527867231	77158673929	3421169496361	88109799136087*	22865554874031409	3475688599752347161
z	2	6	8	11	17*	23	35
f k/42	3∙43	5∙43∙279941	2^2∙3^2∙73∙699053	2^2∙3∙5∙7∙11∙19∙927961	13∙38543∙4186837*	2^3∙3^3∙11∙23∙79∙1723∙73189	2^2∙3^2∙5∙13∙17∙97∙151∙1747∙81299
p_(z)	1010100101011	1054500545011	1076700767011	10A9A00A9A011	29BGE9E999C5*	01:00:22:21:22:00:00:22:21:22:00:01	01:00:34:33:34:00:00:34:33:34:00:01

l.p.(10): 5419: 5418.

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 10gbg00gbg011_(z) (U₄₂)
p	23113483969970021041	195489390796456327201	1474204440326002547779	5775495864363550765441	143914955231593824825961
z	41	49	58	65	85
f k/42	2^3∙3^2∙5∙23∙41∙239∙1723∙3936577	2^4∙3∙5^2∙7∙19∙43∙678223072897	3∙11∙19∙29∙59∙163∙7963∙25207313	2^6∙3∙5∙11∙13∙613∙5791∙282175093	2^2∙3∙5∙17∙43∙2437∙3041∙67777∙155537

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U42)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₄₂)