Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 54

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 54: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 54: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111111111111111111111111111_(z) * 1000000000000000000000000001. V žádné soustavě není 1000000000000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě číslem 1000000001_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru ggggggggg000000001. Zároveň je repunit o délce 54 součinem 1111111111111111_(z) * 1000000000000000001000000000000000001. V každě soustavě je i číslo 1000000000000000001000000000000000001_(z) dělitelné číslem 1000001000001_(z). Ne v každé soustavě je ggggggggg000000001_(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě (999999999000000001 = 170541929 * 14175966169).
Číslo ggggggggg000000001_(z) můžeme získat také takto: (z⁹ * (z⁹ - 1)) + 1.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo ggggggggg000000001_(z) je složené, mají faktory délku p.h. l = 54, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
Prvočísla o délce p.h. l = 54 vždy vyhovují vzorci 54n + 1.
V soustavích z = 3n - 1 je navíc číslo ggggggggg000000001_(z) dělitelné třemi. Pokud je tento podíl prvočíslem, jedná se také o unikátní prvočíslo,, neboť délka p.h. trojky v takové soustavě l = 2 a nikoliv 54.
- Poznámka: unikátní prvočísla o délce p.h. = 6 jsou ve tvaru g1; unikátní prvočísla o délce p.h. = 12 jsou ve tvaru gg01; unikátní prvočísla o délce p.h. = 24 jsou ve tvaru gggg0001 atd. pro U = 6n. S rostoucí délkou U frekvence výskytu silně klesá, u mnohých z zcela zaniká. U lichých n navíc přistupuje možnost dělitelnosti třemi, čímž dostáváme U v jiném tvaru (případně součin faktorů, jejichž délka p.h. = 6n).

Tabulka nejmenších unikátních p (U₅₄)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₅₄ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 54
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/54 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/54)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)
p_(z) - prvočíslo v zápisu v soustavě z

Tabulka nejmenších unikátních p *ggggggggg*000000001_(z) nebo jejich třetin* (U₅₄)
p	87211*	1628413557556843	150094634909578633	1477891879996957031251	1081383636631149044212969*	6979147079581739570429953	14551915228363037109375001
z	2*	7	9	15	23*	24	25
f k/54	5∙17∙19*	7^9∙19∙37∙1063	2^2∙3^15∙7∙13∙19∙37∙757	3^6∙5^9∙7∙241∙541∙21061	2^2∙13^2∙163∙271∙1117∙ ∙416389∙1441883*	2^26∙3^6∙19∙23∙601∙2017∙4987	2^2∙5^18∙7∙19∙31∙829∙5167

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p *ggggggggg*000000001_(z) nebo jejich třetin* (U₅₄)
p	165381614442044189169770829313	61084237387009883015241899131051*	244416145091042996911151632861507
z	42	62*	63
f k/54	2^8∙3^6∙7^9∙13∙19∙41∙139∙288900307	3∙5^2∙7∙13∙37∙97∙317∙2269∙5347∙225523∙53243243*	3^15∙7^9∙19∙31∙37∙109∙7759∙424117

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U54)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₅₄)