Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 59
Vzhled
Tato stránka není ještě hotová.
Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, většina malého zbytku je známa z počátků novověku a nepatrný zbytek v posledních desetiletích); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit. kusurija.
Drobečky teorie
[editovat]- V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 59: 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
- Zdaleka ne v každé soustavě jsou tyto repunity prvočísla.
- Obecně repunity nemohou být prvočísly v mocninových soustavách (soustavách o základu z=ab). Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou: čtyřková soustava, kde R2 (11) je 5 a osmičková soustava, kde R3 (111) je 73.
- V soustavách o základu 59n + 1 je vždy jedním z w:faktorů prvočíslo 59.
- Kromě prvočísla 59, všechny další faktory (nebo repunitová prvočísla o délce R = 59) vyhovují vzorci 118n + 1 (p).
- V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za se bude dále vyskytovat ve všech následujících soustavách, vyhovujících vzorci za + npb.
- V předchozím bodě uvedený faktor pb který se vyskytl v soustavě za je (nezbytně) také v soustavě zb, vyhovující vzorci za n mod pb pro n = 2; n = 3; n = 4; n = 5; ... až n = 58; tedy pro každé takové p existuje celkem přesně padesát osm (protože 59 - 1 = 58) číselných soustav o zx, kde x < p, ve kterých je p faktorem repunitu o délce R = 59.
- V padesát osmi soustavách zy, kde pro každé z těchto y platí y = p - x, je toto prvočíslo p kofaktorem repunitu o délce R = 118 (111...111)118.
- Obecně každé repunitové prvočíslo o délce R > 2 se vyskytuje pouze jedenkrát v jediné soustavě a není repunitovým prvočíslem o jiné délce (R > 2) v žádné jiné soustavě. Jedinými známými výjimkami z tohoto pravidla jsou prvočísla 31, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v pětkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 5 (11111) ve dvojkové soustavě, a 8191, které je repunitovým prvočíslem R = 3 (111) v devadesátkové soustavě a zároveň repunitovým prvočíslem R = 13 (1111111111111) ve dvojkové soustavě.
Tabulka nejmenších repunitových p (R = 59)
[editovat]legenda:
- p - prvočíslo
- R - repunit (z angl. repeated unit - opakovaná jednička)
- z - základ číselné soustavy
- f - w:faktor
- k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/6 zabere méně místa, nežli zápis (p - 1)/6)
- ∙ - znak násobení
- ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
z | p | f k/118 |
---|---|---|
19 | 155306613932666028670208812450645212905178047040045530562317564121001023821 | 2∙5∙19∙233∙106373∙297003021451861∙670650007983077∙ ∙8501529971051629∙165049085515149863 |
70 | 10518050946990131787208865375822287821375456000745362318840579710- -1449275362318840579710144927536231884057971 |
5∙7∙71∙7019∙8361843239∙ ∙1309650871115770577910672000538130249∙ ∙4666530080888666270779140579710144927536231884057971 |
Repunitových prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních repunitových prvočísel o délkách R = p. Pravda, s postupující velikostí délky repunitu je tato nekonečnost podstatně "řidší" než nekonečnost množství všech prvočísel nebo dokonce všech čísel vůbec, nicméně nekonečno je nekonečnem bez ohledu na jeho "hustotu".
Sledujte
[editovat]- Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 53
- následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 61, Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 67
- také: Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 59, Číselné soustavy/Seznam repunitových prvočísel, Délky period převrácených hodnot prvočísel/Délka l = 59 nebo 118