Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 40

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 40: 1111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 40: 1111111111111111111111111111111111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 11111111111111111111 * 100000000000000000001. V žádné soustavě není 100000000000000000001_(z) prvočíslo, vždy je dělitelné ještě 10001_(z). Tento podíl je vždy ve tvaru gggg0000gggg0001. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 40.
Stejnou délku p.h. (t.j. 40) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(5*(2n+1)) (exponent, dělitelný 5), kde je l.p. = 8. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě šestnáct z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 40. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 40n + 1, existuje právě osm párů z, jejichž vzájemný součet je roven p.
zdaleka ne každé číslo gggg0000gggg0001_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 40n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 40.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₄₀)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₄₀ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 40
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/40 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/40)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p *gggg*0000gggg0001_(z) (U₄₀)
p	61681	42521761	4278255361	727422334085254365392641	12337505331268672999818721	28643990742722076938873281
z	2	3	4	31	37	39
f k/40	2∙3∙257	2^2∙3^4∙17∙193	2^5∙3∙17∙65537	2^5∙3∙13∙17∙31^4∙37∙25085030513	2^2∙3^2∙17∙19∙37^4∙137∙103308219233	2^3∙3^4∙13^4∙17∙19∙761∙3457∙45534289

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p *gggg*0000gggg0001_(z) (U₄₀)
p	401906666439788301510827761	1527044138808127970254969224481	72379771274532868249094188631281	1617154002973827622147579929157441
z	46	77	98	119
f k/40	2∙3^2∙17∙23^4∙29∙47∙73∙929∙ ∙1269398609	2^2∙3∙7^4∙11^4∙13∙19∙449∙593∙5233∙ ∙262965473	2∙3^2∙7^8∙11∙17∙97∙113∙1249∙ ∙6811553423393	2^3∙3∙7^4∙17^4∙59∙73∙97∙5153∙ ∙3901984617857

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U40)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₄₀)