Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 84

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime, příp. Jedničkové číslo (WP). Připomínky jsou vítány - ale raději v diskusi. Tam může kdokoliv i přidávat dotazy či tipy na doplnění. Uvítám i obyčejný komentář kteréhokoliv "kolemjdoucího" o tom, zda je/není článek srozumitelný. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 84: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 84: 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_(z) jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111111111111111111111111111111111111111111 * 1000000000000000000000000000000000000000001. Obě tato čísla jsou v každé soustavě dělitelná dále: první viz U₄₂, druhé je dělitelné číslem 101_(z). Tento podíl je vždy ještě dělitelný čísly gg01_(z) (jehož l = 12) a gg00gg00gg01_(z) (jehož l = 28); a výsledek je vždy ve tvaru 100gggbgg0000gggbgg000101, kde g = z - 1 a b = z - 2. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 84.
Stejnou délku p.h. (t.j. 84) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(3*(2n+1)) (exponent, dělitelný 3), kde je l.p. = 28 a všech z^(7*(2n+1)) (exponent, dělitelný 7), kde je l.p. = 12. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě dvacet čtyři z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je také 84. Jinak řečeno, pro každé p, vyhovující vzorci 84n + 1, existuje právě dvanáct párů z, jejichž vzájemný součet je roven p.
Zdaleka ne každé číslo 100gggbgg0000gggbgg000101_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 84n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 84.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₈₄)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₈₄ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 84
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/84 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/84)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 100gggbgg0000gggbgg000101_(z) (U₈₄)
p	80048881834094656438235281	241421226027686911357322160214972373412241	7047461938243752725631197127427888804001521	191620329589423498354287696276624402251004901
z	12	53	61	70
f k/84	2^2∙3∙5∙7∙11∙13∙19∙29∙157∙ ∙7121∙25757186281	2^2∙3^3∙5∙13∙53^2∙281∙409∙919∙12073∙ ∙114300195647903898649	2^2∙3∙5∙7∙11∙13∙23∙31∙61^2∙97∙373∙383∙523∙1861∙ ∙55541∙83843∙8383223	3∙5^2∙7∙13^2∙23∙29∙71∙1657∙4831∙33617021∙ ∙2017499030770751519

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U84)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₈₄)