Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 30

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a en:Unique prime.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 30: 111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 30: 111111111111111111111111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 111111111111111 * 1000000000000001. Obě tato čísla jsou v každé soustavě dělitelná dále: první viz U₁₅, druhé je dělitelné číslem 11_(z). Tento podíl je vždy ještě dělitelný čísly g1_(z) (jehož l = 6) a g0g1_(z) (jehož l = 10); a výsledek je vždy ve tvaru 10gbbg011, kde g = z - 1 a b = z - 2. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l =) 30.
Stejnou délku p.h. (t.j. 30) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z^{(2n + 1)} (lichý exponent) s výjimkou všech z^(3*(2n+1)) (exponent, dělitelný 3), kde je l.p. = 10 a všech z^(5*(2n+1)) (exponent, dělitelný 5), kde je l.p. = 6. Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě osm z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z (kde z je některé z uvedených v předchozím bodě) platí, že jejich l.p. je 15.
Zdaleka ne každé číslo 10gbbg011_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 30n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 30.
V desítkové soustavě všechna tato unikátní prvočísla (i v předchozím bodě zmíněné faktory) končí jedničkou.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₃₀)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₃₀ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 30
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/30 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/30)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 10gbbg011_(z) (U₃₀)
p	331	1950271	6568801	18837001	47763361	4562284561	11630180251	26876632021	216846518851	517475046481
z	2	6	7	8	9	16	18	20	26	29
f k/30	11	7∙37∙251	2^4∙5∙7∙17∙23	2^2∙3∙5^2∙7∙13∙23	2^4∙3∙41∙809	2^3∙17∙19∙229∙257	3∙5^2∙13∙17∙19∙1231	2∙7∙19∙37∙227∙401	3^2∙5∙13∙677∙18251	2^3∙7∙29∙421∙25229
p_(z)	101001011	105445011	106556011	107667011	108778011	10FEEF011	01:00:17:16:16:17:00:01:01	01:00:19:18:18:19:00:01:01	01:00:25:24:24:25:00:01:01	01:00:28:27:27:28:00:01:01

l.p.(10): 331: 110; 1950271: 975135; 6568801: 469200; 18837001: 2354625(?).

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p 10gbbg011_(z) (U₃₀)
p	880374069121	1133836730401	1448986704001	6717334976041	8179560752161	24317675453761	113383442172001
z	31	32	33	40	41	47	57
f k/30	2^6∙7∙13∙23∙31∙37∙191	2^4∙5∙11∙31∙41∙33791	2^6∙5^2∙11∙17∙109∙1481	2^2∙13∙41∙1601∙65599	2^4∙7∙17∙29^2∙41∙4153	2^5∙13∙17∙23∙47∙106031	2^4∙5^2∙7∙11∙13∙19∙29∙37∙463
p_(z)	01:00:30:29:29:30:00:01:01	01:00:31:30:30:31:00:01:01	01:00:32:31:31:32:00:01:01	01:00:39:38:38:39:00:01:01	01:00:40:39:39:40:00:01:01	01:00:46:45:45:46:00:01:01	01:00:56:55:55:56:00:01:01

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 29
následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 31

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U30)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₃₀)