Přeskočit na obsah

Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 21

Z Wikiverzity
Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a w:en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie[editovat]

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 21: 111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 21: 111111111111111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111 * 100000010000001 a zároveň také součinem 111 * 1001001001001001001. Podíl 100000010000001/111 je roven podílu 1001001001001001001/1111111 a je vždy ve tvaru g00g00gg0gg1, kde g = z - 1. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l) = 21.
  3. V číselných soustavách, ve kterých 1/7(10) má délku periody l.p. = 3, je číslo g00g00gg0gg1 navíc dělitelné 7(10) (sedmi).
    • Délky p.h. 1/7(10) l.p. = 3 jsou v soustavách 2, 4 a ve všech dalších, pro které platí z = 7n + 2 nebo z = 7n + 4.
    • Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 7) délku p.h. = l (v našem případě 3), má převrácená hodnota p2 délku periody l * p (v našem případě 3 * 7 = 21).
    • Tvar výrazu g00g00gg0gg1(z)/7(10)) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
  4. Stejnou délku p.h. (t.j. 21) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z(n), kdy n (exponent) není dělitelné ani třemi, ani sedmi, natož jedenadvaceti (n tedy může být 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19 a 20). Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě dvanáct z menších, než p.
  5. Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 42.
  6. Zdaleka ne každé číslo g00g00gg0gg1(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 42n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 21.
  7. číslo g00g00gg0gg1(z) se podobá číslu číslo g00g0gg1(z), které se vyskytuje mezi unikátními prvočísly pro l = 15, neboť mají podobné zákonitosti vzniku/délky p.h.

Tabulka nejmenších unikátních p (U21)[editovat]

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U21 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 21
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/42 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/42)
  • l.p. délka periody 1/p
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p g00g00gg0gg1(z) nebo jejich sedmin* (U21)
p 337* 368089 1822428931 11898664849 8177824843189 156107192084257* 12271836836138419 73392189661173853*
z 2* 3 6 7 12 18* 22 30*
f k/42 2^3* 2^2∙7∙313 5∙31∙271∙1033 2^3∙3∙43∙274517 2∙11∙13∙19∙59∙607319 2^4∙7^2∙4740864677* 3^2∙11∙23∙463∙277150879 2∙3∙7∙19∙23∙179∙271∙1039∙1889*
p(z) 101010001* 200200220221 500500550551 600600660661 B00B00BB0BB1 02:07:12:17:15:07:15:07:10:07:12:13* 21:00:00:21:00:00:21:21:00:21:21:01 04:04:08:21:08:17:08:17:00:04:08:13*
Pokračování tabulky nejmenších unikátních p g00g00gg0gg1(z) (U21)
p 144542918285300809 223934956756993189 3282747916283682841 22013480670406449841 1749050046002344546441
z 27 28 35 41 59
f k/42 2^2∙3^2∙13∙19∙37∙461∙22690571 2∙3^3∙23∙29∙757∙195549689 2^2∙3^2∙5∙17∙109∙397∙590268779 2^3∙3∙5∙11∙31∙41∙43∙59∙547∙225119 2^2∙3∙5∙7∙23^2∙29∙59∙163∙4951∙135743
p(z) g00g00gg0gg1(27) g00g00gg0gg1(28) g00g00gg0gg1(35) g00g00gg0gg1(41) g00g00gg0gg1(59)

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte[editovat]

Repunity[editovat]