Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 21

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a w:en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 21: 111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 21: 111111111111111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111 * 100000010000001 a zároveň také součinem 111 * 1001001001001001001. Podíl 100000010000001/111 je roven podílu 1001001001001001001/1111111 a je vždy ve tvaru g00g00gg0gg1, kde g = z - 1. Pokud je prvočíslem, jedná se o unikátní prvočíslo (soustavy z) a délka jeho převrácené hodnoty je (l) = 21.
V číselných soustavách, ve kterých 1/7₍₁₀₎ má délku periody l.p. = 3, je číslo g00g00gg0gg1 navíc dělitelné 7₍₁₀₎ (sedmi).
- Délky p.h. 1/7₍₁₀₎ l.p. = 3 jsou v soustavách 2, 4 a ve všech dalších, pro které platí z = 7n + 2 nebo z = 7n + 4.
- Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 7) délku p.h. = l (v našem případě 3), má převrácená hodnota p² délku periody l * p (v našem případě 3 * 7 = 21).
- Tvar výrazu g00g00gg0gg1_(z)/7₍₁₀₎) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
Stejnou délku p.h. (t.j. 21) má toto prvočíslo p i ve všech soustavách z⁽ⁿ⁾, kdy n (exponent) není dělitelné ani třemi, ani sedmi, natož jedenadvaceti (n tedy může být 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19 a 20). Totéž platí i pro základy, které jsou modulem výše uvedených k p. Ze všech těchto je právě dvanáct z menších, než p.
Pro (kladné) základy p - z platí, že jejich l.p. = 42.
Zdaleka ne každé číslo g00g00gg0gg1_(z) je prvočíslem. Faktory takovýchto čísel vždy odpovídají vzorci p = 42n + 1 a jejich délka p.h. v té soustavě = 21.
číslo g00g00gg0gg1_(z) se podobá číslu číslo g00g0gg1_(z), které se vyskytuje mezi unikátními prvočísly pro l = 15, neboť mají podobné zákonitosti vzniku/délky p.h.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₂₁)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₂₁ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 21
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/42 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/42)
l.p. délka periody 1/p
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p g00g00gg0gg1_(z) nebo jejich sedmin* (U₂₁)
p	337*	368089	1822428931	11898664849	8177824843189	156107192084257*	12271836836138419	73392189661173853*
z	2*	3	6	7	12	18*	22	30*
f k/42	2^3*	2^2∙7∙313	5∙31∙271∙1033	2^3∙3∙43∙274517	2∙11∙13∙19∙59∙607319	2^4∙7^2∙4740864677*	3^2∙11∙23∙463∙277150879	2∙3∙7∙19∙23∙179∙271∙1039∙1889*
p_(z)	101010001*	200200220221	500500550551	600600660661	B00B00BB0BB1	02:07:12:17:15:07:15:07:10:07:12:13*	21:00:00:21:00:00:21:21:00:21:21:01	04:04:08:21:08:17:08:17:00:04:08:13*

Pokračování tabulky nejmenších unikátních p g00g00gg0gg1_(z) (U₂₁)
p	144542918285300809	223934956756993189	3282747916283682841	22013480670406449841	1749050046002344546441
z	27	28	35	41	59
f k/42	2^2∙3^2∙13∙19∙37∙461∙22690571	2∙3^3∙23∙29∙757∙195549689	2^2∙3^2∙5∙17∙109∙397∙590268779	2^3∙3∙5∙11∙31∙41∙43∙59∙547∙225119	2^2∙3∙5∙7∙23^2∙29∙59∙163∙4951∙135743
p_(z)	g00g00gg0gg1₍₂₇₎	g00g00gg0gg1₍₂₈₎	g00g00gg0gg1₍₃₅₎	g00g00gg0gg1₍₄₁₎	g00g00gg0gg1₍₅₉₎

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte

Repunity

Předchozí: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 19
následující: Číselné soustavy/Repunitová prvočísla: l = 23

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U21)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₂₁)