Přeskočit na obsah

Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 20

Z Wikiverzity
Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a w:en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie[editovat]

  1. V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 20: 11111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
  2. Repunity o délce 20: 11111111111111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111111(z) * 10000000001(z). Číslo 10000000001(z) je v každé soustavě dále dělitelné číslem 101(z). Výsledek je vždy ve tvaru gg00gg01, kde g = z - 1.
  3. V číselných soustavách, ve kterých 1/5(10) má délku periody l.p. = 4, je číslo gg00gg01 navíc dělitelné 5(10) (pěti).
    • Délky p.h. 1/5(10) l.p. = 4 jsou v soustavách 2, 3 a ve všech dalších, pro které platí z = 5n + 2 nebo z = 5n + 3.
    • Vysvětlení/zdůvodnění: v soustavě, ve které má p (v našem případě 5) délku p.h. = l (v našem případě 4), má převrácená hodnota p2 délku periody l * p (v našem případě 4 * 5 = 20).
    • Tvar výrazu gg00gg01(z)/5(10)) v dané soustavě nevykazuje nějaká zřetelná pravidla, zejména ne pro nízká z.
  4. Ne v každé soustavě je číslo gg00gg01(z) prvočíslo (nebo v příslušných soustavách gg00gg01(z)/5(10)), tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě.
  5. Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
  6. Pokud číslo gg00gg01(z) (nebo v příslušných soustavách gg00gg01(z)/5(10)) je složené, mají faktory délku p.h. l = 20, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem. Obecná značka pro nedělitelná pěti: gg00gg01.
  7. Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
  8. Prvočísla o délce p.h. l = 20 vždy vyhovují vzorci 20n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U20)[editovat]

legenda:

  • p - prvočíslo
  • U - unikátní prvočíslo
  • U20 - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 20
  • z - základ číselné soustavy
  • f - w:faktor
  • k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/20 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/20)
  • l.p. délka periody 1/p
  • p(z) - prvočíslo, zapsané v soustavě z
  • l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
  • ∙ - znak násobení
  • ^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 53 ( = 125)
Tabulka nejmenších unikátních p gg00gg01(z) nebo jejich pětin* (U20)
p 41* 1181* 61681 42521761 85403261* 212601841 4278255361 16936647121 208518605101 1784250435661
z 2* 3* 4 9 12* 11 16 19 26 34
f k/20 2* 59* 2^2∙3∙257 2^3∙3^4∙17∙193 29∙229∙643* 2^2∙3∙11^2∙7321 2^6∙3∙17∙65537 2^2∙3^2∙17∙19^2∙3833 3^3∙5∙13^2∙17∙26881 3∙7∙11∙17^2∙1336337
l.p.(10) 5* 1180* 30840 8685 85403260 ? ? ? ? ?
p(z) 101001* 1121202* 33003301 88008801 24727225* AA00AA01 FF00FF01 18:18:00:00:18:18:00:01 25:25:00:00:25:25:00:01 33:33:00:00:33:33:00:01
Pokračování tabulky nejmenších unikátních p gg00gg01(z) nebo jejich pětin* (U20)
p 5633411028941* 16806825723601 49618654502861* 72277174927981 273977841618281* 408767379437801* 576362475005101
z 48* 45 63* 54 78* 82* 70
f k/20 461∙9473∙64499 2^2∙3^4∙5∙11∙23∙401∙5113 397∙6249200819* 3^6∙11∙53∙8503057 2∙23∙1217∙244701727* 2∙5∙269∙367∙20702743* 3∙5∙7^2∙17∙23∙71∙353∙4001
p(z) 09:28:28:38:28:38:09:29* 44:44:00:00:44:44:00:01 12:37:37:50:37:50:12:38* 53:53:00:00:53:53:00:01 15:46:46:62:46:62:15:47* 16:32:49:16:49:16:16:33* 69:69:00:00:69:69:00:01

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho, stejně jako ostatních unikátních prvočísel.

Sledujte[editovat]

Repunity[editovat]