Číselné soustavy/Unikátní prvočísla: l = 32

Tato stránka není ještě hotová.

Toto je 100 % vlastní výzkum. Ne, že by informace, zde uvedené, nebyly dosud známy (naprostá většina z nich je známa od starověku, nepatrný zbytek je znám z počátků novověku); vlastním výzkumem je seřazení/prezentace těch informací a naznačené souvislosti mezi nimi. Viz též en:Repunit a w:en:Unique prime. kusurija.

Drobečky teorie

V každé číselné soustavě existuje právě a jen jeden jediný repunit o délce 32: 11111111111111111111111111111111. Neexistuje žádná číselná soustava o celočíselném základu větším, než 1, kde by tomu tak nebylo.
Repunity o délce 32: 11111111111111111111111111111111 jsou vždy (v každé soustavě) součinem 1111111111111111 * 10000000000000001. Ne v každé soustavě je 10000000000000001_(z) prvočíslo, tak jak tomu například není ani v desítkové soustavě.
Pokud prvočíslem je, jedná se o unikátní prvočíslo, tedy takové, jehož převrácená hodnota je číslo s periodickým rozvojem, jehož délka je v dané soustavě unikátní, žádné jiné p v té soustvě nemá danou délku periody p.h.
Pokud číslo 10000000000000001_(z) je složené, mají v sudých soustavách faktory délku p.h. l = 32, tudíž každé z nich není jediné takové p a není v dané soustavě unikátním prvočíslem.
V lichých soustavách je pochopitelně vždy jedním z faktorů číslo 2. To však v dané soustavě má vždy l = 1 (ne 32). Podíl (10000000000000001/2)_(z) je vždy ve tvaru (z/2-1/2:)_{(opakováno 15krát)}z/2+1/2, tedy v trojkové soustavě 1111111111111112₍₃₎ (1 = 3₍₁₀₎/2 - 1/2) (2 = 3₍₁₀₎/2 + 1/2; 1 = 10₍₃₎/2 - 1/2) (2 = 10₍₃₎/2 + 1/2), v jedenáctkové soustavě 5555555555555556₍₁₁₎, v 783 soustavě 391:391:391:391:391:391:391:391:391:391:391:391:391:391:391:392₍₇₈₃₎ atd... Obecná značka: aaaaaaaaaaaaaaab, kde b=a+1.
Pokud tento podíl je prvočíslem, je v dané soustavě unikátním prvočíslem, v opačném případě není.
Prvočísla o délce p.h. l = 32 vždy vyhovují vzorci 32n + 1.

Tabulka nejmenších unikátních p (U₃₂)

legenda:

p - prvočíslo
U - unikátní prvočíslo
U₁₆ - unikátní prvočíslo o délce p.h. l = 32
z - základ číselné soustavy
f - w:faktor
k - "kořen" prvočísla, t.j. p - 1 (tento symbol je používán čistě jen k úspoře místa, neboť zápis k/32 zabere méně mista, nežli zápis (p - 1)/32)
l.p. délka periody 1/p
p_(z) - prvočíslo, zapsané v soustavě z
l.p.(10) délka periody převrácené hodnoty prvočísla p v desítkové soustavě
∙ - znak násobení
^ - znak umocňování; zápis 5^3 je totožný zápisu 5³ ( = 125)

Tabulka nejmenších unikátních p 10000000000000001_(z) nebo *aaaaaaaaaaaaaaab*_(z) (U₃₂)
p	65537	21523361	926510094425921	125123236840173674393761	31879515457326527173216321	197352587024076973231046657	325188939908904785521061417281
z	2	3	9	29	41	44	73
f k/32	2^11	5∙17∙41∙193	2∙5∙17∙41∙193∙21523361	3∙5∙7∙17∙421∙26209∙353641∙561377	2∙3∙5∙7∙17∙29^2∙137∙10313∙ ∙234850742033	2^27∙11^16	2∙3^2∙5∙13∙17∙37∙41∙113∙25057∙ ∙8377153∙14199121

Délky l.p.(10): 65537: 65536; 21523361: 5380840.

Unikátních prvočísel tohoto typu je nekonečně mnoho*, stejně jako ostatních unikátních prvočísel. *Ve vztahu k dvojkové soustavě, Pierre de Fermat vytvořil teorii (viz Fermat number - Fermatova čísla), že 2^(2^n) + 1 je prvočíslo. To ovšem platí pouze pro n = 0 (3), 1 (5), 2 (17), 3 (257) a 4 (65537); pro další známá Fermatova čísla to neplatí (n = 5 až 11 - jsou známy všechny faktory, pro n = 12 až 32 je známo, že nejsou prvočísly, ačkoliv nejsou známy všechny faktory; pro n = 20 a n = 24 nejsou známy žádné faktory). Podobný jev pro další číselné soustavy se nazývá generalizované Fermatovo číslo.

Sledujte

Repunity

Drobečky teorie

Tabulka nejmenších unikátních p (U32)

Sledujte

Repunity

Tabulka nejmenších unikátních p (U₃₂)